一节“数学味”浓厚的规则课——观“向量的数乘运算及其几何意义”所悟

广东省广州开发区外国语学校(510735) 范从阳

中学数学教学中,以数学的公理、定理、公式、法则、性质等规则的教学为主要任务的课,称规则课.现实教学中,受功利主义的影响,现行中学数学课堂教学越来越沦为解题活动,教学中,教师往往只告诉学生结论,只说明操作程序,期望让学生经历大量的重复训练,掌握数学知识,学会解题,数学课堂已不再是以育人为宗旨,不再是思维碰撞、智慧飞扬的场所,学生丧失了在学习数学过程中体悟数学真理、数学思维、数学精神与数学智慧,缺少了数学课堂的“味道”.2019年12月4 日,笔者有幸观摩了中学正高级教师钟进均老师的一堂”向量的数乘运算及其几何意义”,课堂回归本真,数学味道浓厚,观后感悟良多,拙笔浅文,与同行切磋.

1 课堂简录

1.1 新知探究与呈现

教师:前面我们学习了平面向量的加、减法运算及其几何意义,我们发现研究向量的问题,关键要关注向量的什么特征?

学生:重点要关注向量的方向和大小.

教师:很好,这就是我们研究向量问题的主要方向,研究向量的问题,我们只要抓住向量的方向和大小这两个关键点,我们就能得到很多“有趣”的结论,本节课,我们一起来探究向量的数乘运算及其几何意义.

探究一已知非零向量a,请分别作出a+a+a和(−a)+(−a)+(−a).

学生自主探究,教师巡视,学生上台展示探究成果.

教师:您画出的两个向量可以怎样表示?它的方向、大小与向量a有什么关系?

学生1:a+a+a=3a,从图形可知与向量a方向相同;(−a)+(−a)+(−a)=−3a,从图形可知与向量a方向相反.

学生1 展示

教师:很好,这位同学的思路很清晰,根据同学们的探究,我们规定:

实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘法(教师板书).

探究二(1)|λa|____|λ||a|;

(2)当λ >0 时,λa的方向与a的方向____;当λ <0时,λa的方向与a的方向____;当λ=0 时,λa=____;

(3)当|λ|>1 时,λa的长度相对a的长度____了____倍;当0<|λ|<1 时,λa的长度相对a的长度____了____倍;

学生自主探究,交流合作,教师巡视学生探究的结果,适时指导、鼓励学生,探究结束后,教师与学生交流互动,鼓励学生说出自己的探究思路、探究结论.

学生1:根据探究一的启发,我得到如下结论:|λa|=|λ||a|;

教师:这是衡量向量的哪一个特征?

学生1:是根据向量的大小得到这个结论的.

学生2:当λ >0 时,λa的方向与a的方向相同; 当λ <0 时,λa的方向与a的方向相反; 当λ=0 时,我猜想:λa=0;

教师:λa=0,这个猜想成立嘛?

学生3:λ=0 时,λa的长度为0,长度为0 的向量方向就是任意的,因此结果就是0.

学生4:根据探究一的启发,当|λ| >1 时,λa的长度相对a的长度伸长了|λ|倍;当0< |λ| <1 时,λa的长度相对a的长度缩短了|λ|倍;

教师:根据以上的探究结论,同学们能完成一下表格吗?教师给出一个空表,让学生继续探究,找出分类的标准,学生说出结论,教师板书完成表格如下:

表1

学生完成表格的探究后,教师组织游戏,教师任意说出一个λ的值或说出λa的变换方式,学生快速的说出λa的变换方式或λ的值,进一步熟悉并巩固数乘向量的几何意义.

探究三

探究性练习:

(1)(−3)×4a=____;

(2)3(a+b)=____;

(3)3(a+b)−2(a−b)−a=____;

(4)(2a+3b−c)−(3a−2b+c)=____;

学生自主完成以上练习,教师提问学生.

教师:如何运算得出以上结果?

学生5:类比整式的运算,可直接计算得出(1)的结果为−12a,(2)、(3)、(4)题先经过去括号,再类比“合并同类项”得出结果依次是3a+3b、5b、−a+5b−2c.

教师:我们能证明这些结论吗?如能,怎么证明,请同学们思考完成(1)、(3)的证明.

学生6:可以通过画图的方式证明,学生1 展示通过画图证明(1)的过程,先画出向量a,在通过同向伸长的变换画出4a,(−3)×4a即是反向伸长3 倍,通过图形比较及得到结果为−12a.学生用同样的方式展示了(2)的证明过程.

教师:学生6 在证明(2)的方法有什么不足之处?

学生7:她的证明方法选用的是向量a,b共线,不具备一般性.可以选取两个不共线的的向量a,b,运算向量加法的三角形法则,可以证明该等式.学生7 讲解完毕后,教师分别投影展示了两位同学运用向量加法的三角形法则和平行四边形法则的证明过程,并及时予以鼓励.

学生6 的证明图形

学生7 的证明图形

学生7 的证明图形

教师引导学生,运用特殊到一般的推理方法,得出向量数乘运算的法则:

结论设λ,µ是实数,那么(1)λ(µa)=(λµ)a;(2)(λ±µ)a=λa±µa;(3)λ(a±b)=λa±λb.

探究四

对向量a(a≠0),b,如果有一个实数λ,使b=λa,那么a与b____.反过来,已知向量a与b____.a≠0,且向量b的长度是向量a的长度的µ倍,即____.那么当a与b同方向时,有____;当a与b反方向时,有____;

学生经历自主探究,教师巡视指导,学生展示探究成果.因为学生经历了探究一、探究二、探究三的深度学生活动,探究四的结论就是显而易见的了.

学生8:根据探究一、探究二、探究三的启示,可以得到对向量a(a≠0),b,如果有一个实数λ,使b=λa,那么a与b共线.反过来,已知向量a与b共线.a≠0,且向量b的长度是向量a的长度的µ倍,即b=µa.那么当a与b同方向时,有µ>0;当a与b反方向时,有µ<0;

教师:其它同学还有补充吗?

学生9:学生8 的所画的图形只是共线中一种,也即是在同一直线上的共线情况.

教师:您认为还有哪些情况呢?

学生9:因为向量在平面内是可以平移的,我们不难得出平行也是共线的一种,所以这个结论还包括平行的情况,因为这也是向量共线.

教师:很好,敢于大胆质疑,并提出简介,学生9 说得对,向量共线包含了平行这一种情况(教师展示学生9 的探究结论),并归纳出共线的定理:

向量a(a≠0),b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使得b=λa(a≠0).

……

2 观课所“悟”

2.1 问题探究,呈现数学真理

“向量的数乘运算及其几何意义”是一节以习得数学规则为主要目标的课.学生在之前已经学习了平面向量的加、减法运算及其几何意义之后,向量的数乘运算与加、减法的学习方式与过程几乎相同,很多教师认为,学生的理解与接受也会是顺理成章的.因此,大量的课堂是以直接告知概念、运算规则,然后进行大量的题型训练,这样的操作表面上学生都“懂了”,然而这样的学习显然缺乏知识的生成过程,缺乏系统性、整体性,不利于学生数学学习习惯的养成.

本课例中,钟老师把大量的时间放在“新知探究与呈现”部分,让“新知”在探究中逐步呈现,四个探究活动由易到难,由具体到抽象,层层深入,以学生为主体,将课堂的时间还给学生,所有探究活动都在学生独立完成的基础上,再进行点评、指导,以问题带动知识点,逐步呈现数学真理.同时,在以探究问题呈现新知的过程中,紧扣向量大小与方向两个本质特征,以作图为主要工具,循序渐进的探究问题,将向量数乘运算的“数”与其几何意义的“形”完美结合,原原本本的呈现了本节知识的生成与发展.这样的课堂看似缺少了习题的练习,但是呈现数学真理的过程性探究,不就是我们培养学生分析问题、解决问题的过程嘛?

2.2 问题驱动,培养数学思维

“向量的数乘运算及其几何意义”一课,蕴含了大量的数学思想,是培养学生良好数学思维的重要素材.一是,向量本身就是具备“数”与“形”双重特性,蕴含了数形结合这一重要数学思想,学生学习向量加法、减法是源于物理学中力的合成,因此,对于向量数形结合思维的认识还处于浅层面,钟老师在四个探究活动中,处处渗透数形结合的思想,学生的探究立足于“形“,结论归位于“数”,可以说,这样的教学过程,才是学生真正意义上感受向量数形结合的思想精髓.二是,向量的数乘运算后必然要考虑向量方向与大小的两个特征,大小便有伸长、缩短,方向便有同向反向,而这些结论都跟参数λ有关.本课中,钟老师巧妙的创造“表1”,教学中,先是一空白表格给出,让学生自主探究,教师点评完成表格,这一过程学生要去分析表格横向、纵向怎么填,如何分类,这样的分类是否全面等,开放式的问题探究过程,就是培养提出问题、分析问题、解决问题的能力,而问题的解决又是培养学生分类讨论的数学思维.三是,在向量的数乘运算规则的呈现过程中,蕴含着从特殊到一般的数学思想.从“探究三”的探究性练习中,通过类比、归纳出向量数乘运算的规则,从习得数学规则这一角度讲,本课到此就可以进行大量的习题训练了,但是本课中,教师将重要时间放在了运算规律的证明中,学生在证明运算规律时,大多数学生仅仅想到了利用两个共线的向量来证明,这显然是一种特殊情况,教师引导学生,这是否具备普遍性?让学生在思维上再一次经历从特殊到一般的认知转变,培养了学生良好的数学思维习惯.

2.3 数学交流,塑造数学精神

日本著名数学教育家米山国藏指出:“多数学生进入社会后,几乎没有机会应用他们在学校学到的数学知识,而这样作为知识的数学,通常在学生毕业后不到一两年就忘掉了,然而不管他们从事什么工作,那种铭刻于大脑的数学精神、数学思想方法却长期在他们的生活和工作中发挥着重要作用.”这段话深刻的揭示了“数学精神”教育的重要性.“数学精神”是指人们在数学活动中形成的价值观念和行为规范,其内涵丰富,包含理性的精神、求真的精神、思辨的精神、质疑的精神等,其根源于数学文化,彰显于知识发生过程,生成于数学交流活动,内化于数学理性探索.

在本课中,教师异地教学,在课堂教学的各个环节,充分激励学生,让学生大胆的“想”,大胆的“说”,对向量的数乘运算规则,不满足于简单的“告知”,而是通过“说数学”的数学交流活动,让学生探究、证明结论,培育学生对知识的理性认识.通过对教师讲解的质疑、学生讲解的质疑,培育学生批判性的思维.可以说,一堂看似简单的规则课教学,让学生充分参与探究活动,帮助学生形成说理、批判、质疑、反思的数学理性思维习惯.

数学的课堂要教会学生学会数学的“学”、数学的“看”、数学的“说”、数学的“悟”,”向量的数乘运算及其几何意义”作为一节简单的数学规则课,不能沦为“告知+训练”的解题教学,要为塑造数学精神而教.