求解一对解三角形中的最值问题

甘志国

(北京市丰台二中 100071)

题目设△ABC的三边长分别是a,b,c，p,q,r均是已知数且q+r>0,pq+pr+qr>0.

(1)若pa2+qb2+rc2=s，则△ABC面积的最大值为____；

(2)若△ABC的面积是S，则pa2+qb2+rc2的最小值为____.

解法1 设△ABC的长为c的边所对的角是C.由q+r>0,pq+pr+qr>0，可得(p+r)(q+r)=pq+pr+qr+r2>r2≥0,p+r>0.

由余弦定理及均值不等式，可得

s=pa2+qb2+rc2=pa2+qb2+r(a2+b2-2abcosC)

即当且仅当

还可得当且仅当

即当且仅当

解法2 设BC=a,CA=b,AB=c，△ABC的面积为S.

由两点间距离公式，可得