“缩放”视角下小数除法意义的教学探究

黄冰

摘 要 小学数学教学中，小数除以小数，无法用“平均分”的意义来解释时，用放缩变换的视角来理解，其实质就是“比例思维”。数学思维的培养是培养学生核心素养的重中之重，本文通过一道人教版五年级上册“小数除以小数”的练习题，引入“比例思维”，拓展对除法意义的认识和理解。

关键词 “缩放”视角;小数除法意义

中图分类号：G622 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2020）22-0118-02

日常课堂教学过程中，难免会碰到一些疑难问题，这些问题是因为教师在教学设计时未能站在学生的学习经验上来考虑造成的，也就是对学情的把握不到位造成的。本文从郜舒竹老师的《“小数乘法”起点在哪儿》一文，联系到小数除法意义的理解，用“缩放”视角即比例思维，解决了人教版五年级上册数学教学中“小数除以小数”解决问题的疑难。为后续学习分数除法的意义埋下伏笔，同时渗透“比例思维”。

一、尴尬问题引出的缘由

在学习小数除法这一单元时，作业本上有这么一道练习题：一辆小汽车每行驶4.5千米要排放7.83克污染物，一辆小汽车每行驶1千米要排放多少克污染物？

批改的过程中，教师惊讶地发现这道题有41%的学生列的算式是4.5÷7.83=1.73（km）。当时很不解为什么学生们这种题都不会做。课堂上讲解时，突然一个学生举手提问：“老师，为什么除以4.5千米就是1千米的呢？除以4是1km排放的污染物，那还有0.5怎么办？”顿时，课堂里一片附和声。教师恍然大悟，原来学生根据以往整数除法的意义，运用平均分来理解，可是除数是小数，如何建立平均分呢？这还真是个尴尬的问题，这个问题显然是把教师给难倒了，于是开始了以下一些思考：

问题一：除法的意义是什么？

整理了所有有关除法的教材内容，并做了相应的分析。

二年级下册《表内除法（一）—除法的初步认识》，学生们开始认识除法，并且认识除法的第一节课就是从“平均分”开始。学生明白一个数除以另一个数就是把一个数平均分成几份，和一个数里面有几个另一个数（包含关系）。三年级上册《倍的认识》，学生通过学习初步建立了“倍”的意义，能运用倍的意义来叙述两个数的倍数关系。倍数关系的本质其实就是“比”，是一种数与数之间的关系。三年级下册《除数是一位数的除法》、四年级上册《除数是两位数的除法》、五年级上册《小数除法》中，所有例题情境的选择都围绕着“平均分”或“包含关系”来解决问题。

通过整理，除法的意义总结以下三点（以a÷b=c为例）：1、a是b的几倍（“比”的关系）;2、把a平均分成b份，每份是多少（平均分）;3、a里面有几个b（包含关系）。

问题二：对于这道题，如何用学生认知的除法的意义来解释？

似乎，用学生以往学习除法意义的经验，还是很难解决学生提出的这个问题。到底该怎样解释这个问题，教师陷入了迷茫之中。

二、缩放视角的发现

正当陷入迷茫之时，教师看到了郜舒竹老师的《“小数乘法”起点在哪儿》的文章。文章中，郜老师首先也提出了一个问题：例如，某商品每千克3.5元，如果买3千克，需要多少元？实际就是求“3个3.5等于多少”，这个过程其实就是把两数相乘的过程看做相同加数求和或者简称为“重复加”，但是在两个因数都是小数的情况下，就无法解释它的含义了。比如，某商品每千克3.5元，如果买0.5千克，需要多少元？这里列出的算式“3.5×0.5”就没有重复加的过程。因此，郜老师提出了观点——“乘”的本质是放缩，其实就是一种“比例思维”。

郜老师认为，放缩的过程本质上是基于“测量”的认识活动。测量过程一般是源于比较的需要，主要包含两个基本要素，第一是确定标准（单位），第二是被测对象与标准的关系。前面题目中是将“3.5×1”视为标准，然后看3.5×3和3.5×0.5相对于标准发生了怎样的变化，前者是扩大为原来的3倍，后者缩小为原来的一半或者二分之一。

依据这样的认识，那除法的本质不也是缩放的过程吗？

三、缩放视角下的合理解释

运用缩放原理，教师觉得可以很清晰说明本题的做法，并且对除法的意义也有更深的理解。

1、解释：运用缩放的原理，来理解作业本上出现的这个问题，首先整理题目中的信息：

1千米？克

分析：行駛的路程缩小4.5倍，那么排放的污染物也缩小4.5倍，所以列式应该为：

4.5÷1=4.5，7.83÷4.5=1.74（克）。

2、变式：一辆汽车行驶4.5千米排放污染物7.83克，照这样计算，平均每排放1克污染物行驶多少千米？

整理信息：

？千米1克

分析：排放的污染物缩小7.83倍，那么行驶的路程也缩小7.83倍，所以列式为7.83÷1=7.83，4.5÷7.83≈0.57（千米）。

3、延伸：一辆汽车行驶4.5千米排放污染物7.83克，照这样计算，行驶3千米排放污染物多少克？

整理信息

3千米？克

分析：行驶的路程缩小1.5倍，那么排放的污染物也缩小1.5倍，所以列式为：

4.5÷3=1.5，7.83÷1.5=5.22（克）。

四、缩放视角下合理解释的原理依据

乘法的缩放过程是建立在确定的标准上的。例如理解0.3×0.2，首先可以确定一条长度为1的线段，将其缩短为1的0.3倍得到长度为0.3的线段，再将其缩短0.2倍，这时线段长度就是0.3×0.2。而除法的缩放过程背后支撑的原理也是确定的标准。例如汽车在行驶的过程中，每千米排放污染物或者每排放1克污染物行驶的距离是一定的。延伸到比例的知识，就是排放污染物与路程成正比例关系。五年级学生虽然还没有学习比例的知识，做完以上的练习可以引导学生发现“行驶路程越远，排放污染物越多并且每千米排放污染物是一定的”这一关系，渗透比例的思维。

教学片断：

师：请同学们对比一下这三道题，你有什么发现？

生1：我发现他们的变化是一样的。

师：你说的变化具体是指什么变化？

生1：就是行驶的距离和排放的污染物他们缩小的倍数是一样的。

师：是的，那你知道为什么他们缩小的倍数是一样的吗？

生2：因为每千米排放的污染物是一样的。

师：是啊，每千米排放的污染物是一定的，在我们生活中，像这样的现象还有哪些？

生3：汽车行驶每1km消耗的油是一样的。

生4：每消耗1升油可以行驶的距离是一样的。

生5：还有其实买东西也是这样，物品的单价是固定的，买的东西越多，总价越高。

师：这位同学还提到了一个变化的关系，在我们前面的练习中有没有这样的变化关系？

生6：有，行驶的路程越远，排放的污染物就越多

教师进行总结：是啊，通过这一组题的练习，我们不仅发现了变化的规律，还发现了变化过程中不变的事物。

五、结束语

随着教育改革的不断深入，培养学生的核心素养已成为全体教育工作者的共识，数学思维的培养则是核心素养的重中之重。在数学教学中，教师们期望超越形式化的教学，不断引导孩子寻求知识的本质，让孩子逐步养成数学思维习惯，具备数学的头脑和眼光，促进孩子数学核心素养的养成与提升。

参考文献：

[1]郜舒竹.“小数乘法”起点在哪儿[J].教学月刊，2018（9）：4-7.