基于陇南乡村振兴的输油管线布置中数学建模思想应用

高婷婷 张明会

[摘           要]  乡村振兴是国家战略，乡村振兴最主要的是发展产业，而基础设施建设就是重中之重，根据某油田计划在陇南某铁路一侧建设两家炼油厂，并在铁路上增建一个车站，来运送成品油，使管线建设费用最省的问题，考虑两家炼油厂和铁路的各种位置关系以及管线是否共用等多种情况，建立了该问题的多元函数模型，将费用的最省问题转化为多元函数的最小值问题。通过判断多元函数在驻点处Hesse矩阵的正定性，获得了该模型最小值存在的充分条件，得到了最佳管线布置方案。在两家炼油厂位置完全确定的情况下，利用Matlab软件，结合题中所给的数据，在费用最省的情况下模拟出了两家炼油厂及车站间管线的分布，从而验证了所建数学模型是比较可靠的。

[关    键   词]  函数模型;最小值;偏导数;Hesse矩阵;正定矩阵

[中图分类号]  TU990.3                 [文獻标志码]  A             [文章编号]  2096-0603（2020）50-0088-02

一、问题的提出

随着陇南市经济社会的不断发展，尤其是电子商务助推陇南乡村振兴的关键时刻，各行各业对石油的需求量也越来越大。为在陇南某铁路沿线建造炼油厂并增建火车站，来生产成品油和增加成品油的运送量将显得十分必要。现今某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运输生产的成品油。对此，设计院要考虑这两家炼油厂和增建的车站选在何处、输油管线如何铺设，才会使输油管线建设费用最省。

1.针对A、B两家炼油厂到铁路距离和两炼油厂间距离的不同情形，以及是否共用输油管，设计输油管线布置的最佳方案。

2.针对A、B两家炼油厂选址分别选在郊区与城区，并且在城区铺设输油管时还需考虑拆迁和工程补偿等附加费的情形，在所有管线建设费用均相同的情况下，设计输油管线布置的最佳方案。

3.在问题2的基础上，根据A、B两家炼油厂生产能力不同而选用不同的输油管线，且共同管线费用也不同的情形，设计输油管线布置的最佳方案。

二、假设与符号说明

（一）必要的假设

为使问题简化，讨论方便，现做如下假设：

1.不考虑地形、地貌对管线铺设的影响，认为炼油厂A、B和铁路线在同一水平面上。

2.不考虑铁路线和输油管线的弯曲程度，认为在炼油厂的附近铁路线和输油管线都是直线型，可以看作几何中的线段处理。

3.不考虑炼油厂和车站的建设费用。

（二）符号说明

在文中如无特殊说明，以下字母具有特定含义。

1.大写字母A、B表示拟建修的炼油厂的位置，也表示炼油厂，不再区分。

2.大写字母P表示拟增建的车站位置，也表示车站，不再区分。

3.小写字母a、b表示炼油厂A和B到铁路线的垂直距离。

4.字母组AC、BD表示炼油厂A和B到铁路线的垂线段。

5.小写字母l表示两炼油厂在铁路线上的垂足C和D间的距离。

6.字母kA、kB表示单独向A和B两炼油厂铺设输油管线时，每千米输油管线的费用，kAB表示A和B两炼油厂共同铺设输油管线时每千米输油管线的费用，kC表示在城区铺设输油管线时的附加费用。

三、模型的建立与求解

（一）简单环境，管线费用相同

简单环境，就是不考虑两炼油厂的周边环境和其他附加费用。下面分别讨论两种情况。

1.垂直

若两炼油厂的连线与铁路线垂直，如图1。

由“点到直线，垂线段最短”的几何知识，可将AB与铁路的交点C作为拟建车站P的选址，下面分别讨论共用输油管线和不共用输油管线时的费用。

（1）若两炼油厂的输油管线不共用，各自单独铺设，并设kA=kB，则总费用表示为f1=akA+bkB=（a+b）kA

（2）若两炼油厂共用长度为s（s∈[0，a]）的输油管线，其余输油管线单独铺设，则总费用表示为f2=（a-s）kA+（b-s）kB+skAB=（a+b）kA+（kAB-2kA）s

为比较两种铺设方案费用的多少，取F=f2-f1=（kAB-2kA）s

2.不垂直

若两炼油厂的连线与铁路线不垂直，如图2。

下面分别讨论共用输油管线和不共用输油管线时的费用。

★若A、B两炼油厂的输油管线单独铺设，不共用输油管线，且设kA=kB.

以铁路CD为x轴，以CA为y轴，建立坐标系。则A（0，a），C（0，0），B（l，b），D（l，0），设P（x，0），则由两点距离公式有PA=，PB=

（1）当a、b同时为0时，即两个炼油厂均建在铁路边，且相距l时，其费用表示为：g（x）=PAkA+PBkB=xkA+（l-x）kB=lkA

车站可建在CD的任一点，费用均相同。

（2）当a、b不同时为0时，则输油管线费用函数表示为：g（x）=PAkA+PBkB=kA+kB=（+）kA

要使费用最少，即函数g（x）取最小值。

由一元函数取最小值的条件：

①g′（x0）=0，②g"（x0）>0.

令g′（x0）=0，得x0=，容易验证g"〔〕>0，

即当车站建在距离C点为时费用最省，最省费用为：g〔〕=kA=kA

此时管线的铺设方案见图2。

若两炼油厂A和B共用部分输油管线，仍设车站为P（x，0），共用输油管线的长度为y，如图3。

即当车站建在距离C点为6.732千米，共用输油管线的长度为0.14千米，点Q到铁路线的距离为7.282千米时费用最省，最省费用为：252.474万元。

参考文献：

[1]王汝发.数学模型[M].兰州：甘肃教育出版社，2000.

[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2006.

[3]姜启源，谢金星，叶俊，等.数学模型[M].北京：高等教育出版社，2003.

编辑 马燕萍

①基金项目：2018年度陇南市哲学社会科学研究项目“利用数学建模思想对陇南电商助力乡村振兴战略的分析与模式研究”（项目编号：18LNSK20）的研究成果。

作者简介：高婷婷（1979—），女，汉族，甘肃礼县人，本科，副教授，研究方向：应用数学。