多种方法解“妇人洗碗问题”

张小艳

《张丘健算经》中有一道“妇人洗碗问题”：有一个妇女在河边洗碗，旁人问她：“为什么洗这么多碗？”妇女说：“家里来了客人。”旁人又问：“有多少客人？”妇女回答：“2人共用一个饭碗，3人共用一个汤碗，4人共用一个肉碗，总共用了65个碗。你说说，有多少客人？”

这道题的解法很多，下面从不同的角度来分析。

【解法1】归一法 因为“2人共用一个饭碗”，即平均每个人用饭碗个；“3人共用一个汤碗”，即平均每个人用汤碗个；“4人共用一个肉碗”，即平均每个人用肉碗个。因此，平均每个人共用碗++= （个）。再求出65里有几个，就求出了客人的总数，即65€？ 60（人）。

【解法2】分组法 “2人共用一个饭碗，3个共用一个汤碗，4人共用一个肉碗”，最少要多少人才能保证用的各种碗都是整数个？我们知道2、3、4的最小公倍数是12，所以我们可以把12人编为一组。每组用饭碗12€？=6（个），汤碗12€？=4（个），肉碗12€？=3（个），共用碗6+4+3=13（个）。65个碗可供65€？3=5（组）人使用。因为每组12人，所以客人共有12€？=60（人）。

【解法3】假设法 因为客人的人数和碗的个数都应为整数，所以由“2人共用一个饭碗，3人共用一个汤碗，4人共用一个肉碗”可知，客人的总数应是2、3、4的公倍数，我们不妨假设是12人，则他们共用碗12€？+12€？+12€？=13（个）。按假设客人数求出的碗数（13）相当于实际碗数（65）的 ，说明假设的客人数也相当于实际人数的 ，因此客人共有12€？=60（人）。

【解法4】份数法 把肉碗数看作1份，那么饭碗数就是4€？=2（份），汤碗数就是4€？= （份），从而可知碗的总份数是2+1+ = （份），每份有碗65€？=15（个），即肉碗有15个。因为“4人共用一个肉碗”，也就是说客人总数是肉碗数的4倍，所以客人共有15€？=60（人）。

【解法5】比例法 因为“2人共用一个饭碗”，即平均每个人用饭碗个；“3人共用一个汤碗”，即平均每个人用汤碗个；“4人共用一个肉碗”，即平均每个人用肉碗 个。所以，每个客人所需饭碗、汤碗、肉碗的比是 ： ： =6：4：3，由此可求得65个碗中饭碗有65€？30（个），进而求出共有客人30€？=60（人）。

【解法6】方程法 设客人共有x 人，则他们用了 x 个饭碗，用了 x 个汤碗，用了 x 个肉碗，依题意可得方程： x + x+ x =65。解方程， x=60，即客人共有60人。

【解法7】列表法 因为客人的人数和碗的个数都应为整数，所以由“2人共用一个饭碗，3人共用一个汤碗，4人共用一个肉碗”可知，客人的总数应是2、3、4的公倍数，即12、24、36、48、60、72……。我们可以通过列表的方法找出正确答案：

从表中可以看出，当共用65个碗时，客人数是60人。