大学数学案例式教学与数学实验相结合的研究与探索

郭春晓 郭艳凤 林燕

[摘 要] 大学数学中的案例式教学模式是提高学生自学能力、激发学生创新能力、培养批判性思维的新教学模式，数学实验是应用所学数学知识解决实际问题的方式。通过对高等院校工科数学课程案例式教学理念、模式的思考与分析，结合数学实验课程，提出了适合矿业类学生人才培养的大学数学基础课程研究型教学的设计思路和实施方案。

[关键词] 案例式教学;数学实验课程;人才培养

[项目资助] 本成果受2020年度高等学校大学数学教学研究与发展中心2020年教学改革项目（CMC20200312）;2019年度和2020年度中国矿业大学（北京）本科教育教学改革与研究项目（J190804，J20ZD25，J200810）;2016年度广西科技大学优秀教学团队支持计划;2019年度和2020年度广西高等教育本科教学改革工程项目（2019JGB254，2020JGB249）

[作者简介] 郭春晓（1983—），女，山西朔州人，理学博士，中国矿业大学（北京）理学院副教授，硕士生导师，主要从事偏微分方程理论研

究;林燕（1981—），女，贵州贵阳人，理学博士，中国矿业大学（北京）理学院教师，博士生导师，主要从事调和分析研究;郭艳

凤（1976—），女，河南获嘉人，理学博士，广西科技大学理学院教授，硕士生导师（通信作者），主要从事大学数学理论研究。

[中图分类号] G642.423    [文献标识码] A    [文章编号] 1674-9324（2020）30-0373-03   [收稿日期] 2019-11-02

大学数学是工科院校最重要的基础课。中国矿业大学（北京）作为矿业类院校，肩负着为煤炭、矿业等行业培养高素质人才的重要任务。如何提高大学数学课程的教学质量，培养符合时代需求的创新应用型人才，是大学数学教育者共同关心的课题。在传统的大学数学教学中存在着一些不足，学生缺乏学习兴趣，对所学专业缺乏了解，只是盲目地学习大学数学课程。在大学数学教学中采用案例式教学和数学实验相结合，可以有效地提高学生的学习兴趣，使繁杂的数学问题简單化，使枯燥的数学知识和具体专业相结合并应用到实际中去，具有实用性和趣味性，从而激发学生学习数学的兴趣和积极性。

在传统的教学模式下，学生通过听讲、看书获得知识。教师将知识教条化、“填鸭式”地灌输给学生，而忽略了把它真正变为学生自己的知识。案例式教学则不同，该教学方法以案例为引导直接切入核心问题，注重培养学生的注意力和观察力[1]。同时结合数学实验来开展大学数学课程中的案例式教学，是一种新的大学数学教育教学理念。该教学模式包涵了通过案例传授知识、培养创新能力和创新意识，从而达到高校培养创新应用型本科的发展目标。

一、针对学科特点制定相应的典型案例

案例式教学成功与否取决于典型案例的选取和课堂教学设计，选择典型案例可以激发学生的求知欲，提高学生的创新能力;成功的教学设计可以加强学生对数学基本理论知识的理解和掌握。大学数学基础课的案例探究式教学模式，本质上就是借助数学课程，以学生为主体，引导其自主学习，培养其独立思考、自主解决问题的能力。教学案例的设计，融合启发式、研讨式、参与式等多种教学方式，是以培养学生的团队合作能力和创新能力为目标的新型教学模式。

常微分方程是现代数学的一个重要分支，是解决各种实际问题的有效工具，是研究自然科学和社会科学中事物及物体运动、演化和变化规律最为基本的数学理论和方法。物理、化学、工程、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程[2]。根据镭的衰变规律得到的常微分方程，求解后可以用来测定岩石类材料的年龄。因此，在给资源和地测学院的学生讲授高等数学课时，可以从这样的案例为切入点，精心设计案例。同时，引导学生自己去寻找一些和本学科相关的案例，查阅资料—提出解决方案—修正方案—促使老师加深思考。在资源学院的专业课教材“矿山压力与岩层控制”中，需要数学物理方程的知识[3]。在设计案例时，和资源学院的老师讨论后制定相应的案例[4]。让学生运用弹性力学知识建立偏微分方程，利用有限差分方法和Matlab软件求解，从而启发学生运用专业知识分析所得结果。

高等数学中的傅里叶级数理论，阐述了一种重要的物理现象，在工程实践上有很多的应用。如电动机、功率放大器，以及数字式传感器，由于它们的输出量都是周期函数，工作原理都以傅里叶级数为基础。因此，在给机电学院的学生讲授傅里叶级数时结合他们的专业特点，制定相应的案例。将具体的专业知识分析和傅里叶级数结合进行讲述和推导，利用Matlab等软件对傅立叶级数足够多的有限项进行模拟画图演示。导数在经济学中最通常的应用是边际和弹性，经济学中的边际经济变量都是用增加某一个经济变量对另一个经济变量带来的影响是多少，如边际效用、边际成本、边际收益、边际利润、边际替代率等，这些边际概念几乎都用导数来表示。所以针对管理学院的学生，在引入导数概念时，可以从这些与经济相关的知识入手，通过经济学中的数学模型解释导数的应用，并结合相应的数学模型利用数学软件求解经济中的总收益问题并进行模拟，以展示大学数学的应用。

概率论与数理统计是研究和处理随机现象的一门重要的随机数学课程，其在工程、经济、社会等领域应用广泛。在大数据时代，通过统计数据的采集、整理、处理、分析等，使用概率论与数理统计有效地对社会与个人的选择进行必要的预测。因此，任课教师有必要对其教学方法、手段等进行重新设计。设计案例时增加实践性教学环节，注重培养学生应用概率论与数理统计的理论和方法解决实际问题的能力。结合数学实验课程，利用Matlab等软件通过计算机对数据进行初步的统计分析，学习统计图表的制作，对结果进行基本统计分析，并对分析结果做出合理和恰当的解释。

总之，任课教师要针对不同学院、不同专业的学生在案例设计上、教学方法上突出专业的特色。

二、案例教學中要注重学生的主体地位

在教学过程中采用案例式教学模式需要注意以下几个方面问题。第一，鼓励学生独立思考，积极探索。编写案例时，设置一些问题情境，如一个定理或公式为什么这样证明，并将定理的结论隐含在案例中。遇到问题时，学生会积极探索，步步深入，从而使所学的知识更加深刻。教师应积极鼓励学生不要局限于课堂教学内容，可以提出问题，让学生分组讨论，并积极参与到讲解的过程中，深刻理解所讲授的内容，体会给别人传道授业的成就感，激发学生学习数学的热情。第二，注意对学生进行激励。在一个团队中，每个人都愿意积极进取，吸取别人的优点，奋发努力赶超别人，这样，整个团队便会有一个良性竞争的氛围。第三，从被动吸收知识转变为主动增长能力。案例式教学考核时可采取开放式的考核方式，不要拘泥于以往的试题模式。考查学生对数学知识的掌握和理解程度，应用所学知识提出问题、分析问题、解决问题的能力，注重培养学生独立自主的学习能力、科研能力、团队协作意识和组织能力。

三、案例教学中注重数学实验的应用

数学软件如Matlab、Mathematica、Maple等具有数值计算和图形显示功能软件，为教师课堂开展案例式教学提供了有力的工具，同时也为学生利用数学软件进行相应的实验、亲身操作来解决实际问题提供了很有效的工具。这些软件在科学计算等领域应用非常广泛，学生掌握相应的数学软件应用对以后的工作和科研会有很大的帮助。通过这些案例式的分析和给出一定的概念以后，可以有效地利用数学实验课程来解决提出的问题，让学生真正感受到大学数学可以得到广泛应用的实用性，并有效地回答中科院李大潜院士指出的“一方面数学很有用、另一方面学生学了数学以后却不会用”的矛盾现象。

例如，上面提到的资源学院专业课程用到的有限差分方法是计算偏微分方程近似解的有效方法。高等数学微分和积分都涉及近似计算的内容，定积分的内容讲到近似计算，矩形法、梯形法、抛物线法可以进行案例设计。给学生讲解这些近似计算的主要思想和思路以后，可以通过数学实验课程来应用Matlab、Mathematica、Maple等数学软件，设计一些简单的算法，从案例出发可以在数学实验课程中给出一些简单的例子和算法，进行课堂上模拟以后，让学生了解这些大学数学的思想在解决实际应用中的作用。并给出相应的类似案例，可以通过学生分组进行数学软件编程来解决问题。在这个过程中也培养了学生的团队精神，提高了学生分析和解决问题的能力，为培养创新应用型人才提供了很好的教学方式。

这种从教学案例出发，借助计算机数学软件，让学生自己设计解决方案，亲身体验学习过程，并深入探索数学知识、找到数学规律的教学模式，顺应了现代高等教育的大趋势。

四、案例式教学和数学实验相结合对教师的促进作用

成功地把案例式教学和数学实验相结合，不仅使学生受益匪浅，还有效地提高了教师的综合素质。案例式教学要求师生的角色都要有很大程度的转变。因此，这样的模式对教师备课、课堂教学活动、课后辅导等均提出了一定的挑战。在案例式教学过程中，教师以案例为基础，是学生学习的引导者，同时可以运用案例拓展学生知识的深度和广度。同样，教师通过学生反馈的意见，进行自我总结分析，通过再设计—研究—创新—升华，不断提高自身对案例的驾驭能力，充分地发挥案例式教学的优势。

结合数学实验课程的教学，对教师综合素质的要求也比较高。不仅要求教师能够把案例式的教学内容和思想与数学实验结合起来，而且还要求能够熟练操作相应的数学软件，并针对相关内容设计一些实际问题并利用数学软件编程来进行解决，同时还要求教师能够熟练进行数学实验室的各种操作，实现在数学实验过程中通过师生相互配合来进行实践操作，指导学生进行相关内容的数学实验分析和运行。

因此，案例式分析教学和数学实验相结合的教学形式对教师也具有很大的挑战，并要求教师不断地进行学习和提升，从而提高教师的综合素质。

五、案例式教学模式的考核方式和课后探索

（一）课程测验和课后研究报告相结合的考核方式

采取案例式教学模式，在课程结束时教师根据教学内容给出几个课题由学生自主选择，考核方式采取分组调研、课后讨论、撰写研究报告并参加答辩的形式实施。这种考核方式没有标准答案，但学生需要首先建立模型，然后应用数学软件进行计算，接着运用专业知识分析所得结论的科学性。这不仅能考查学生对数学内容的掌握程度、应用所学知识提出问题、分析问题、解决问题的能力，也可激发学生从事科研的兴趣和创新精神，同时也能弥补传统考核方式的不足。结合我校正在实施的大学生创新训练项目，老师可以指导五人一组的创新团队。期间，老师可以推荐很多科技论文及相关书籍中的相关内容，让学生们深入研究。学生们在查阅文献、搜集资料、撰写论文、发表论文的过程中，其自主学习能力、科研能力、团队协作能力等得到了大幅度发展和提高，这是科研人员必备的基本能力。学生在创新项目结束之后，不仅对高等数学这门课程有了新的认识，还学到了课本之外的一些新的知识，并可以熟练运用Matlab工具。总之，参加创新项目的学生都受益匪浅，有了这些经验的积累，相信大学数学任课教师一定可以充分发挥案例式教学的优势，不断提高数学课程的教学质量。

（二）课后探索

为适应高校目前创新型人才的培养计划，由于大学数学课程学时的限制，创新性的题目作为课后题目留给学生进行探索。随着目前互联网技术的不断成熟，互联网资源丰富，利用互联网平台使学生普遍受益。如我国已经拥有高校精品课程网、网易公开课程网、微课网等丰富的视频教学资源，这些都为开展案例式课堂教学模式提供了资源基础。把网络直播方式运用到大学数学的课后探索，在可能的情况下尝试直播高等数学课程。由于直播形式的自由性，老师可以选择一些数学案例不仅可以吸引学生学习的积极性，还可以让学生在线讨论，掌握所学知识。同时建立数学课后微信讨论群，弥补课堂教学时间短的缺陷，教师可以在群里对案例进行深入分析，演示一些数学软件的应用。

终上所述，在大学数学教学过程中适当地采用案例教学和数学实驗相结合的方式，不仅能提高授课教师的学术水平，还能使教与学的过程更生动、更丰富，并提高学生学习大学数学的浓厚兴趣。我校各个学院鼓励学生积极参与数学课程相关的创新性项目，项目导师指导学生以解决实际问题为目标，重在培养学生的创新应用能力。在实践上，旨在为矿业类专业知识和数学理论知识之间搭建一座桥梁，从重理论轻实践的传统教学模式真正转变为学以致用。

参考文献

[1]冯良贵，丁吉超.工科院校数学教学改革案例比较与分析[J].高等教育研究学报，2007（2）.

[2]同济大学数学系.高等数学（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014：297-359.

[3]钱鸣高，石平五，许家林.矿山压力与岩层控制[M].徐州：中国矿业大学出版社，2015：91-94.

[4]谢生荣，陈冬冬，孙颜顶，等.基本顶弹性基础边界薄板模型分析—初次破断[J].煤炭学报，2016（6）.

Research and Exploration of Combination of Case-teaching and Mathematical Experiment in College Mathematics

GUO Chun-xiao1，GUO Yan-feng2，LIN Yan1

（1.School of Science，China University of Mining and Technology（Beijing），Beijing 100083，China;

2.School of Science，Guangxi University of Science and Technology，Liuzhou，Guangxi 545006，China）

Abstract：The case-teaching model in college mathematics is a new teaching model to improve students' self-learning ability，stimulate students' innovation ability，cultivate students' critical thinking，and mathematical experiment is the way to solve practical problems using mathematical knowledge.By thinking and analyzing of the mathematics curriculum of engineering case-teaching concept，model，and combined with the mathematical experiment course，this paper puts forward the design idea and implementation scheme of research-based teaching model of talents cultivation for college students of mining basic mathematics.

Key words：case-teaching model;mathematical experiment course;talent cultivation