不等式（组）和趣味题

林革

在人们的日常生产、生活实际中，只要稍加关注就不难发现，相比较等量关系，不等关系其实更为常见.许多活动的安排、利润的优化、方案的设计等都蕴涵着不等关系，因此借助不等式（组）就自然而然成为解决问题的一种重要策略，

【问题1】王强参加班级的百科知识竞赛，共有25道题，答对一道题得6分，答错或不答一道题扣2分，只有得分超过90才能人选校赛.王强至少答对多少道题才能入选校赛？

【分析与解】设王强答对x道题，则答错或不答的题共为（25 -x）道，由“答对一道题得6分，答错或不答一道题扣2分”，可知王强的得分为（25-x）×（-2）+6x=8x-50，根据题意“只有得分超过90才能入选”可列出不等式8x一50>90，解得x>17 1/2.

因为x为非负整数，所以x至少为18，即王强至少答对18道题才能入选校赛.

【问题2】将若干只鸡放人若干个笼中，若每个笼中放4只，则有一只鸡无笼可放;若每个笼中放5只，则有一个笼无鸡可放，那么至少有多少只鸡，多少个笼？

【分析与解】设有x个笼，则鸡有（4x+l）只.由“每个笼中放5只，则有一个笼无鸡可放”，可知（x-2）个笼中均放5只鸡的前提下，第（x-1）个笼中最多放5只鸡，最少放1

4x+1≥5（x-2）+1，只鸡，由此可列出不等式组4x+1≤5（x-1）.解得6≤x≤10.故25≤4x+1≤41，即至少有25只鸡.6个笼.

【问题3】一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分3件，则剩余4件;若前面每人分4件，则最后一人得到的玩具不足3件.求小朋友的人数与玩具的件数，

【分析与解】设小朋友为x人，则玩具总共有（3x+4）件.题中“最后一人得到的玩具”，是指其他（x-1）个小朋友各得4件后剩下的玩具，其件数为（3x+4）-4 （x-1）=8 -x.而“不足3件”应理解为大于或等于0件，且小于3

8-x≥0，件-故可列不等式组8-x<3.解得5

因为x为非负整数，所以x可取6或7或8.故有6个小朋友、22件玩具，或有7个小朋友、25件玩具，或有8个小朋友、28件玩具.

【问题4】某校计划组织师生共300人参加一次大型公益活动.通过向客运公司咨询得知，每辆大客车的座位数比小客车的多17.如果租用6辆大客车和5辆小客车就恰好全部坐满，后来，活动又增加特邀嘉宾30人，学校决定调整租车方案.在保持租用车辆总数不变，所有参加活动的人员都有座位的前提下，求最多租用小客车多少辆，

【分析与解】首先，需要求出每辆大客车和每辆小客车的座位数.为此可设每辆小客车的座位数是x，则每辆大客车的座位数为x+17，根据题意可得6（x+17）+5x=300，解得x=18.故每辆小客车的座位数是18，每辆大客车的座位数是18+17=35.

其次，求最多租用小客车多少辆.为此可设租用o辆小客车，则租用的大客车为（11-a）辆，根据题意可列出不等式18a+35 （11-a）≥300+30.解得a≤3 4/17.故最多租用小客车3辆.

【问题5】某旅馆底层的客房比二楼的客房少5间，某天来了个由48名成员组成的旅游团.老板发现：（1）如果全部安排在底层，每间住4人，客房不够;每间住5人，有的客房住不满.（2）如果全部安排在二楼，每间住3人，客房不够;每间住4人，有的客房住不满.这家旅馆的底层客房有多少间？

【分析与解】设底层客房有x间，则二楼客房有（x+5）间，根据条件（1）可列出不等式48÷5

为非负整数，所以x可能是10或11.

类似地，根据条件（2）可列出不等式48÷4

显然，符合题意的结果只有x=10，即底层客房有10间.

【问题6】海滩上有一堆桃子，是两只猴子某天傍晚共同采摘的.第二天清晨来临时，第一只猴子来到海滩上把桃子均分为两份，发现还多一个，便把多余的一个吃了，取走一份，第二只猴子接着也来到海滩上，它不知道第一只猴子已经分配好，于是第二只猴子又把桃子均分为两份，发现还多一个，便把多余的一个吃了，取走一份，如果原有的桃子个数不小于100，那么第一只猴子至少可以取走几个桃子呢？

【分析与解】设第二只猴子取走x个桃子，那么，第二只猴子分配前的桃子个数就应为2x+1，这也是第一只猴子留下的桃子个数，由此不难理解，第一只猴子取走的桃子个数也为2x+1.那么，第一只猴子分配前的桃子个数就应为（2x+l）x2+1 =4x+3，这正是海滩上原有的桃子个数.根据题意“原有的桃子个数不小于100”，可列出不等式4x+3≥100，解得 x≥24 1/4.因为x为非负整数，所以x至少为25.故第一只猴子至少可以取走桃子2x25+1=51（个），原有的桃子至少为4x25+3=103（个）.

此问题还可进行延伸：如果把两只猴子改成三只，分配方式仍保持不变，那么问题又该如何解决呢？

類似地，将第三只猴子取走的桃子个数用x表示，那么，取走这些桃子前它所面对的桃子个数应为2x+1.这也是第二只猴子取走的桃子个数，那么，第二只猴子分配前的桃子个数就应为（2x+1） x2+1=4x+3.这也是第一只猴子取走的桃子个数，那么，第一只猴子分配前的桃子个数就应为（4x+3）x2+1=8x+7.根据题意列出不等式8x+7≥100，解得x≥11 5/8.因为x为非负整数，所以x至少为12.

故第一只猴子至少可以取走桃子12x4+3=51（个），原有的桃子至少为8x12+7=103（个）.

瞧瞧，两种情形中，原来至少有的桃子个数不仅相同，而且第一只猴子至少取走的桃子个数也相同，这就颇有曲径通幽的意趣了，由此不难联想：如果猴子只数和原有桃子个数发生变化，那么结果又会如何呢？有兴趣的同学不妨深入探究一番.