S-度量空间中反交换映射的公共不动点定理

孙玉鑫，谷 峰

(杭州师范大学理学院，浙江 杭州 311121)

1 引言和预备知识

2002年，吕中学[1]在度量空间中引入反交换映射的概念，并证明了一些公共不动点定理. 随后，胡新启等[2]进一步研究了反交换映射条件下的公共不动点问题. 2012年，史晓棠等[3]在锥度量空间中证明了两对反交换映射的公共不动点定理. 在Mustafa等[4]引入广义度量空间(简称为G-度量空间)的概念后，许多学者在此空间内研究了公共不动点问题[5-8]. 2014年，沈云娟等[9]在广义度量空间中深入研究了反交换映射下的公共不动点定理.

2012年，Sedghi等[10]引入了S-度量空间的概念，并证明了一些不动点定理. 此后，S-度量空间中的不动点问题被广泛研究，得到了许多重要的研究结果[11-16].本文继续讨论S-度量空间中的不动点问题，利用反交换映射对的概念，证明了两个新的公共不动点定理，所得结果进一步发展了G-度量空间中的相应成果.

定义1[10]设X是一个非空集合，S:X×X×X→[0，∞)是一个三元函数，且对任意的x,y,z,a∈X，满足以下条件： (1)S(x,y,z)=0⟺x=y=z;(2)S(x,y,z)≤S(x,x,a)+S(y,y,a)+S(z,z,a). 则称函数S是X上的一个S-度量，称(X,S)是一个S-度量空间.

定义2[10]设(X,S)是一个S-度量空间. 对于r>0和x∈X，我们定义球心为x，半径为r的开球Bs(x,r)，表示为Bs(x,r)={y∈X:S(y,y,x)

定义3[10]设(X,S)是一个S-度量空间.

(1)序列{xn}⊂X,x∈X，若limn→∞S(xn,xn,x)=0，称序列{xn}是S-收敛到x的. 即对于∀ε>0，∃n0∈N，使得对所有的n≥n0，S(xn,xn,x)<ε.

(2)序列{xn}⊂X，若limn,m→∞S(xn,xn,xm)=0，称序列{xn}是柯西列.即对于∀ε>0,∃n0∈N，使得对于所有的n,m≥n0,S(xn,xn,xm)<ε.

(3)如果X中每个柯西列都是S-收敛的，则称S-度量空间(X,S)是S-完备的.

引理1[10]设(X,S)是一个S-度量空间，对于所有的x,y∈X，有S(x,x,y)=S(y,y,x).

引理2[10]设(X,S)是一个S-度量空间，如果xn→x，yn→y，则有S(xn,xn,yn)→S(x,x,y),n→∞.

定义4[1]设X是非空集合，f和g是X上的两个自映射.

(1)映射对{f,g}称为是反交换的，如果fgx=gfx⟹fx=gx,x∈X;

(2)称t∈X是映射f和g的交换点，如果fgt=gft.

2 主要结果

定理1设(X,S)是一个S-度量空间. 映射f,g是X上的一对反交换映射，并且存在交换点，对∀x,y,z∈X，满足下面的不等式:

S(gx,gy,gz) ≤ψ(max{S(fx,fy,fz),S(fx,gy,gz),S(fx,fy,gz),S(fy,fy,gz)}).

(1)

其中ψ:R+→R+，且对∀t>0,0<ψ(t)

证明令u是f和g的交换点，可得fgu=gfu，根据反交换映射的定义知fu=gu，则有ffu=fgu=gfu=ggu.下面证明gu是g的不动点，假设ggu≠gu，我们在式(1)中令x=u,y=z=gu，因为

max{S(fu,fgu,fgu),S(fu,ggu,ggu),S(fu,fgu,ggu),S(fgu,fgu,ggu)}=S(gu,ggu,ggu)>0，

由式(1)可得

S(gu,ggu,ggu) ≤ψ(S(gu,ggu,ggu))

这是一个矛盾，所以ggu=gu，即gu是g的不动点.

又因为fgu=ggu=gu，所以gu也是f的不动点，即gu是f和g的公共不动点.

下证唯一性，令gu=t，设f,g有另外一个公共不动点t′，且t≠t′，则有S(t,t′,t′)>0. 在式(1)中令x=t,y=z=t′，因为

max{S(ft,ft′,ft′),S(ft,gt′,gt′),S(ft,ft′,gt′),S(ft′,ft′,gt′)}=S(t,t′,t′)>0，

通过式(1)可得S(t,t′,t′)=ψ(S(t,t′,t′))

则映射f和g的全体交换点构成的集合是[1/2,1]，对∀x∈[1/2,1]，都有fgx=gfx，且fx=gx=1，所以映射f和g是反交换的.

下面分8种情形讨论.

ψ(max{S(fx,fy,fz),S(fx,gy,gz),S(fx,fy,gz),S(fy,fy,gz)})≥0.

ψ(max{S(fx,fy,fz),S(fx,gy,gz),S(fx,fy,gz),S(fy,fy,gz)})=

ψ(max{S(fx,fy,fz),S(fx,gy,gz),S(fx,fy,gz),S(fy,fy,gz)})=

ψ(max{S(fx,fy,fz),S(fx,gy,gz),S(fx,fy,gz),S(fy,fy,gz)})=

ψ(max{S(fx,fy,fz),S(fx,gy,gz),S(fx,fy,gz),S(fy,fy,gz)})=

ψ(max{S(0,1,1),S(0,1,1),S(0,1,1),S(1,1,1)})=

ψ(max{S(fx,fy,fz),S(fx,gy,gz),S(fx,fy,gz),S(fy,fy,gz)})=

ψ(max{S(fx,fy,fz),S(fx,gy,gz),S(fx,fy,gz),S(fy,fy,gz)})=

ψ(max{S(fx,fy,fz),S(fx,gy,gz),S(fx,fy,gz),S(fy,fy,gz)})≥0.

定理2设(X,S)是S-度量空间，X上的自映射f1,f2,g1,g2,h1,h2:X→X，并且映象对(f1,f2),(g1,g2),(h1,h2)都是存在交换点的反交换映射. 对于∀x,y,z∈X，有

(2)

其中φ:R+→R+，满足0<φ(t)0，那么映射f1,f2,g1,g2,h1,h2有唯一公共不动点.

证明设映射对(f1,f2),(g1,g2),(h1,h2)的交换点分别为x0，y0和z0，则有

f1f2x0=f2f1x0,g1g2y0=g2g1y0,h1h2z0=h2h1z0.

(3)

又因为映射对(f1,f2)，(g1,g2)和(h1,h2)都是反交换映射，所以

f1x0=f2x0,g1y0=g2y0,h1z0=h2z0.

(4)

由式(3)、(4)可得

(5)

下证f2x0=g2y0=h2z0.假设f2x0≠g2y0≠h2z0，根据式(2)及函数φ的性质可得

(6)

其中，

(7)

由式(6)、(7)可得

S(f2x0,g2y0,h2z0)≤φ(S(f2x0,g2y0,h2z0))

与事实矛盾，故f2x0=g2y0=h2z0.

下证f2x0是f2的不动点，即f2f2x0=f2x0. 假设f2f2x0≠f2x0，在式(2)中令

x=f2x0,y=y0,z=z0.

此时，

由式(5)及函数φ的性质可得

S(f2f2x0,f2x0,f2x0)=S(f2f2x0,g2y0,h2z0) ≤

φ(S(f2f2x0,f2x0,f2x0))

推出矛盾，故有f2f2x0=f2x0，即f2x0也是f2的不动点.

同理可证g2g2y0=g2y0，h2h2z0=h2z0.

由式(5)可得f1f2x0=f2f2x0=f2x0，即f2x0也是f1的不动点. 同理可得

即f2x0是f1,f2,g1,g2,h1,h2的公共不动点.

最后证明公共不动点的唯一性，设t=f2x0，t′≠t是f1,f2,g1,g2,h1,h2的另一个公共不动点. 根据式(2)和函数φ的性质可得

S(t,t,t′)=S(f2t,g2t,h2t′)≤

与事实矛盾，于是t=t′，即f1,f2,g1,g2,h1,h2有唯一的公共不动点.

注在定理2中，若映射f1,f2,g1,g2,h1,h2中的任意两个映射相等，或任意多个为恒等映射，都会得到不同的新结果.