数学思想在高中数学教学中的应用

张丽霞

【摘 要】 学生在学习数学知识之后往往难以解决相关的数学问题，数学思想教学在一定程度上可以消除学生的这一学习负担，因而，本文针对高中数学常用的四大数学思想展开相关的教学探讨。

【关键词】 数学思想;高中数学;教学;应用

数学思想在高中数学中占据着重要的地位，数学思想可以帮助学生将学习过的数学知识有机地联系起来，并寻找到问题的有效解答方法。学生要能够很好地运用这些数学思想，就需要有扎实的数学知识基础，因而数学思想的教学多建立在综合数学学习的基础上。就四大数学思想在高中数学教学中的应用，本文结合教学实例分别进行阐述。

一、数形结合思想

高中数学知识中很多都贯穿着数形结合这一数学思想，因而数形结合思想的教学是相当重要的。顾名思义，数形结合思想是将抽象的代数式和生动直观的几何图形结合起来，利用几何图形充分揭示和分析代数式的意义，从而通过两者之间的内在联系，寻找到相关的解题思路。教师要能让学生熟练运用这一数学思想，需要采取一些教学手段，让学生能够掌握相关知识的概念、运算的几何意义以及常见曲线的代数特征，这样学生才能借助数轴、函数图像、单位图等这些几何工具，遵循一定的数量关系理解和解决相关代数运算问题。

例如，方程sin2x=sinx在区间（0，2π）解的个数为（）A.1个;B.2个;C.3个;D.4个。这一数学题目显然有两种解决方法，一种是利用代数的方法sin2x=2sinxcosx=sinx，即sinx=0或者cosx=，得出相关三角函数特殊点的解答;还有一种方法是利用数形结合的思想，将这一方程问题归结为两个函数图像的交点问题，在同一坐标系内作出函数f（x）=sin2x，x∈（0，2π）以及g（x）=sinx，x∈（0，2π）的图像，从图像可知有三个交点，故选项为C。很显然，这一数学题目的点比较特殊，能通过解方程的方式解答出来，若遇到非特殊点的时候，就不得不考虑利用数形结合思想快速寻找问题的解决途径。

二、分类讨论思想

分类讨论思想要求学生全面地考虑问题，从问题的整体出发，根据对象的研究性质分不同的情况进行相关的问题讨论。这一数学思想对学生的逻辑思维能力有一定的要求，需要学生在熟练掌握数学知识的基础上有一定的分类学习技巧。比如：已知实数a≠0，函数f（x）=，若f（1-a）=f（1+a），求a的值。这一问题主要分析a是大于0还是小于0，那么1-a和1+a的取值范围就知道了。解析：当a>0时，1-a<1，1+a>1，则有2（1-a）+a=-（1+a）+2a，解得a=，与a>0矛盾舍去;当a<0时，1-a>1，1+a<1，则有-（1-a）+2a=2（1+a）+a，解得a=，所以a的值为。

三、函数与方程思想

函数与方程思想是借助函数这一工具建立相关的函数模型解决具体问题。函数与方程思想主要用于解决实际问题，要求学生善于挖掘题目中隐含的数学条件，构造出相应的函数解析式，根据题目给出的取值范围得出具体的数学答案，这一数学思想在高中数学中也一直是考查的重点。比如：建造一个容积为8 m3、深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低造价为多少？这就是典型的利用函数与方程思想建构造价的函数模型，根据题目中的已知条件，求出函数的最小值。解析：设长为x m，则宽为 m，f（x）=4×120+80×4x+80×≥1760，所以f（x）min=1760，即最低造价为1760元。

四、转化与化归思想

高中数学题目多数不是常规思路能够解决的问题，需要利用转化与化归思想，将未解决的问题转化为能够解决的问题或者归结为具有确定解决方案和程序的问题，从而最终寻找到问题的解决途径。比如：在数列{an}中，a1=2，an+1=λan+λn+1+（2-λ）2n（n∈N*），其中λ>0，求数列{an}的通项公式。这一数学例题如果用常规的通项公式思路较难解决，答题者也很容易陷入困境之中，这就需要打破常规思维的局限，利用特殊與一般的转化思想，从特殊中归纳出数列{an}的通项公式。解题：a2=2λ+λ2+（2-λ）×2=λ2+22;a3=λ（λ2+22）+λ3+（2-λ）×22=2λ3+23;a4=λ（2λ3+23）+λ4+（2-λ）×23=3λ4+24……由此猜想数列{an}的通项公式为an=（n-1）λn+2n，n∈N*。下面用数学归纳法证明（当n=1时，a1=2，等式成立。假设当n=k（k≥2且k∈N*时等式成立，即ak=（k-1）λk+2k，那么ak+1=λak+λk+1+（2-λ）2k=λ（k-1）λk+λ2k+λk+1+2k+1-λ2k=[（k-1）+1]λk+1+2k+1，等式也成立。由此可知，an=（n-1）λn+2n对任意n∈N*都成立。这一例题也充分表明转化与化归思想的巧妙性，学生如果能够运用好这一数学思想，就能解决很多的数学难题。

数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想以及转化与化归思想是高中数学常用的四大数学思想，教师在教学中需要结合数学知识的特点有机地融入数学思想教学，帮助学生拓宽数学学习思维。

【参考文献】

[1]刘桂玲.数形结合思想方法在高中数学教学中的应用分析[J].中国校外教育，2015（13）：106-106.