平移齐次化方法在定点定值问题中的应用

陈国宗

(广东省英德中学，513000)

圆锥曲线问题是历年高考命题的重点与难点内容,而定点定值问题又始终在其中占有一席之地,综合考查学生分析问题及知识运用的能力,对数学运算能力与技巧的运用要求较高,学生普遍存在计算不完整或者运算错误的现象.为此,本文运用平移与齐次化相结合的方法解决一类定点定值问题,以提高运算的效率与准确率.

例1已知A,B为抛物线x2=4y上异于原点O的两点,直线OA,OB的斜率满足kOA+kOB=2.证明:直线AB的斜率为定值.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)证明:直线AB的斜率为定值.

x′2+4y′2-4x′+8y′=0.

设A(x1′,y1′),B(x2′,y2′),直线AB的方程为mx′+ny′=1，与x2′+4y2′-4x′+8y′=0联立，可得x′2+4y′2-4x′(mx′+ny′)+8y′(mx′+ny′)=0,整理得

评注本解法的核心在于根据结论的特点对坐标轴进行平移,为后续方程的齐次化简化计算做好了充足的准备,故我们称上述方法为平移齐次化法.

一般地,设P(x0,y0)(x0≠0)为圆锥曲线C:f(x,y)=0上一点,由点P引倾斜角互补的两弦PA,PB,利用平移齐次化法证明直线AB斜率为定值的基本步骤为:

(1)平移坐标轴,建立以P(x0,y0)(x0≠0)为原点的新平面直角坐标系x′Py′;

(2)在直角坐标系x′Py′下,求得圆锥曲线C的方程为f(x′+x0,y′+y0)=0,并设直线AB的方程为mx′+ny′=1;

(1)求椭圆C的方程;

(2)设直线l不经过点P2且与C交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率之和为-1,证明:l过定点.

x′2+4y′2+8y′=0.

x′2+4y′2+8y′(mx′+ny′)=0,

化简变形得

所以,在原坐标系xOy下,直线AB过定点(2,-1).

评注利用平移齐次化法证明定点问题时,应注意平移前后定点坐标的相互关系。

以上是本人对平移齐次化法在定点定值问题中的一些见解,通过文中的几则实例,我们可以感受到该方法摒弃常规、独辟蹊径、解法高效.这也启发我们学习数学要有敢于创新、勇于突破的精神,而非墨守成规、千篇一律.