例谈适合发展的数学课堂的实施要领*

王九红

《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010—2020 年）》提出，要“尊重教育规律和学生身心发展规律，为每个学生提供适合的教育”。作为国家教育发展目标，“适合的教育”需要教育系统乃至全社会为之协力共为，其中，课程教学是一种主要的载体和途径。《义务教育数学课程标准（2011 年版）》在“课程基本理念”中指出，“要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”。这可视为“适合的教育”的理念和要求在义务教育阶段数学学科上的具体表达，也可当作我们实施“适合的数学教育”时应遵循的准则，即要适应学生的数学认知规律和个性发展需要，采用适宜学生学习的方法来开展数学教学，促进学生适性地发展。概而言之，就是要适合发展。下面，笔者以六年级下学期一则数学思考题的教学为例，谈谈适合发展的数学课堂的实施要领。

一、教学现场

出示思考题：一个等腰直角三角形减掉一个三角形后，剩下一个梯形。（如图1）已知梯形的面积是42 平方厘米，上底长4 厘米，梯形的高是（ ）厘米。

1.教学常规解法。

师：这道题比较难，但还是有不少同学做出来了。哪位同学来说说自己的解法？张同学很踊跃，让他先说吧。

张同学：上面小三角形的高是4cm，它的面积就是4×4÷2=8（cm2）；大三角形的面积就是42+8=50（cm2）；50×2=100=102，10-4=6（cm），这就是梯形的高。

师：同学们，你们听懂了吗？100是什么？

生：100是大三角形面积的2倍。

师：谁能画图表示这个2倍的面积？

张同学（在原图上添辅助线，画出图2）：100 是两个三角形的面积，也就是这个正方形的面积。

师：现在大家知道10是什么了吧？10-4=6呢？

…………

2.教学方程解法。

师：其他同学还有别的解法，哪位来说一说？范同学的解法很特别，让他说吧。

范同学面露得意之色，在实物展台上呈现并解释他的解法：

解：设梯形的高为xcm。

（4+x+4）×x÷2=42

x2+8x=42×2

x2+8x-84=0

（x+14）×（x-6）=0

x1=-14（舍去）

x2=6

范同学讲解得很详细，但大多数学生还是一头雾水。

师：哈，范同学列出了个一元二次方程，这是初中才能学到的知识，他现在就掌握了，了不起!范同学，我给你提个建议，如果你设梯形的下底为x会更好一些。那我们就能列出这样的方程——（x+4）（x-4）÷2=42，大家能看懂吗？谁来说说道理？……范同学，你觉得这个方程和你的方程相比怎么样？

范同学：这个更加简单、清楚。

师：对！你看它——（x+4）（x-4）很对称哦！我们还可以让方程变得更对称呢，（x+4）（x-4）=42×2，大家看看，等号两边都是两个部分相乘，这也是对称的，是不是？谁知道（x+4）（x-4）算出来的是什么？42×2 呢？大家相互讨论一下。

学生讨论期间，教师画出图3。

师：现在大家明白了吗？对，（x+4）（x-4）就是这个长方形的面积，是由两个梯形拼成的，它是多少呢？（是42×2，也就是84）（x+4）（x-4）是可以变化的，谁知道它能变成什么样子？

生：（x+4）（x-4）=x2-42=x2-16。

师：对！（x+4）（x-4）=x2-42是个平方差公式，到初中才学到，你也很厉害！大家想知道这个公式是怎么来的吗？哈，这个老师现在不说，把它作为今天课后的思考题。这个方程现在你们会解了吗？

学生解答，汇报，教师板书：

（x+4）（x-4）=42×2

x2-42=84

x2=100

x2=102

x=10

师：大家看，和范同学的解法相比，这个解法确实更简洁、更漂亮。

3.教学分解因数法。

师（指着图3）：大家看这个长方形，它的面积是多少？

生：是42×2等于84。

师：那它的长和宽分别是多少呢？（ ）×（ ）=84，这两对圆括号分别表示长和宽，填什么数？

生：1×84=2×42=3×28=4×21=6×14=7×12。

师：如果让你选一个数做这个梯形的高，你选哪一个？

生：我选6或者7。

师：为什么不是12、14或者别的数呢？

生：因为我看上面的图，6 和7 比较接近这个梯形高的长度，其他的数相差太大。

师：你真聪明！我们有时可以根据图上的比例直接估计答案，然后计算验证，看哪个合适。

教师板书：

（4+6+4）×6÷2=42……√

师：所以，梯形的高就是6。

4.教学据图估数法。

师：同学们，有些题目比较难，我们不会做，但我们可以先根据题目中的图估计出一个答案，没有图的题目可以先画图，这个图要尽量精确。当然，要保证正确，我们最好再验证一下。大家看，这个梯形的上底是4 厘米，估计一下，它的高是多少厘米？

生：大概是5、6、7厘米。

师：这都有可能，但到底是哪一个呢？你准备先验证哪一个？

生：中间的6。

师：你真聪明！我们通常先验证中间的，大了就换小一点的，小了就换大一点的。

二、课后反思：适合发展的数学课堂的实施要领

适合发展的数学课堂由多种元素构成。基于上述教学案例的分析和反思，笔者认为，教学目标的制定与达成、教师的启发引导方式和随机应变智慧是众多元素中较为重要的三个方面。

1.目标要“立地顶天”：让每个学生都得到适性的发展。

制定适切的教学目标是教师备好一节课的首要任务。制定教学目标的依据主要有两个方面——教学内容和学情。教师对教学内容理解得越深刻，对学生了解得越全面、越深入，制定的教学目标就越有可能合适。对于了解到的学情，秉持不同教学理念的教师的处理方式是不同的。有些教师会将其进行“多数化”或“中间化”处理，即根据大多数人的情况或取中间那部分人的情况来确立教学目标，这样设立的目标是一种“截面”的状态，是唯一的。秉持适合发展教学理念的教师则会将学情视为一种连续体，不仅重视“大多数”“中间数”，还关注两头的情况，以期达成“立地顶天”的教学目标。具体而言，“立地”是指要努力让学困生达到国家课程标准规定的基本水平，“顶天”就是让学优生努力达到他所能达到的最高标准。“立地顶天”的教学目标是适合发展的数学课堂有别于一般数学课堂的首要因素，要求教师以适合发展的眼光来看待学生。

在上述教学中，“立地顶天”的教学目标是通过三个环节来实现的。首先是抓中间。教师课前对这道题的答题情况已然了解。面对多种解法，他首先选择的是常规解法。这种解法运用了梯形面积计算的知识，大多数学生都可以理解，教学效率很高。

接着是“顶天”。教师让范同学呈现方程解法，这需要运用中学的一元二次方程知识才能解出。教师将其视为一种帮助学生“顶天”的宝贵资源加以利用，不仅使范同学的方程知识变得更“漂亮”了，还借此引出了分解因数法、据图估数法，使其他学生也有所获益。

最后是“立地”。对于极少数学困生而言，常规解法、方程解法、分解因数解法可能都太难理解了，他们需要更简单的方法，于是教师借助分解因数法将解题方法引导到“无厘头”的估计答案法上。这种解法对思维逻辑性的要求不是很高，但也绝非瞎碰运气，它是建立在学生观察、猜测、几何直观和直觉思维的基础上的。

“立地顶天”其实不是新鲜事物，它只是传统“因材施教”的新表达而已。但在当前教育均衡化和规范办学的形势下，一些人认为这会拉大学生之间的差距，有违教育公平。其实，适合才是最好的，真正公平的教育是让不同的人得到适合的发展。

2.启发要由远及近：让更多的学生进行深度思维。

教学内容的难度与教师的启发方式之间具有一种对应的关系。具体而言，当教学内容难度较小时，教师应该直接让学生自行学习；当教学内容难度适中时，教师应该采取由近及远的启发方式。这样做，就是要让学生通过适度的思维负荷得到发展。

由远及近启发是将全体学生视为一个认知水平由低到高的连续体，从学困生到中等生再到学优生，教师都要兼顾。先做出的点拨和启发高于教学目标，只有少数学优生能理解掌握，然后借助这些学优生的力量或其他办法让较多的中等生理解掌握，最后通过中等生的帮助让其余学生理解掌握，直至学困生也有所收获。这种启发方式特别注重学生思维的过程和数学活动的过程，目的是扩大思维空间，让学生尽可能多地得到一些有一定负荷思维的机会。教师秉持的假设是所有学生都有巨大的学习潜能，都可以在适当的帮助下得到发展。

由远及近启发的具体方式有很多，包括提问、举例、画图、演示等，提问是其中较为重要的启发方式。为了提高学生的思维强度，提问需要远离教学目标。远离教学目标的提问具有含而不露、指而不明、引而不发、开而不达的特点。如果这样的提问过于笼统，多数学生不得要领，就要朝教学目标贴近些再问，如此由远及近，最终达成教学目标。此案例中，教师灵活运用多种方式。如面对难以理解的方程解法，教师首先建议范同学换一种设未知数的方式；然后通过提问让大家比较两个方程的异同，感受数学的简洁美、对称美；最后利用画图帮助学生理解42×2 和（x+4）（x-4）的 意 义，自 然 地 引 出（ ）×（ ）=84，为分解因数法做好铺垫。

3.执教要富有智慧：善于发掘利用各种教学资源。

如何兼顾思维发展与知识学习效率，尽可能促进每个学生适合地发展？这对教师的教学智慧提出了要求。教师要能及时捕捉到课堂中随机生成的教育事件中的“机”，且要能见机行事，恰当地将特定的问题转化为普遍的资源，促进大家的发展。此案例中，教师的教学智慧较为集中地体现在对范同学一元二次方程解法这一“越位”行为的处理上。

首先，教师敏锐地发现了“机”。方程（4+x+4）×x÷2=42 对六年级学生来说解答起来确实比较困难，新方程（x+4）（x-4）=42×2 相对来说更简洁、更对称、更漂亮，这不仅可以使范同学获益，也能让大家感受到数学的简洁美、对称美。就此而言，要敏锐地发现隐藏在教学事件中有价值的资源，教师对教学内容的理解就要深刻、系统。

其次，教师善于引导。在解答新方程时，教师将方程式进行变形，又通过画图帮助学生理解其意义。画图其实是构造出一个长方形，方程式中的（x+4）（x-4）其实就是长方形的长和宽相乘，其积就是42×2。这原本是一个就事论事的行为，但教师又将其普遍化为（ ）×（ ）=84，实现了从关注个别学优生向关注全体学生的转移。

最后，教师适时提供帮助。综观整个案例，教师该出手时就出手。如设梯形的下底为未知数更为恰当，这是学生很难知晓的，因而教师没有启发学生去探究，而是自己直接说出；将方程（x+4）（x-4）÷2=42 变 为（x+4）（x-4）=42×2，这也是学生不易想到的，教师抓住“对称”来相助。

综上所述，在数学教学中，教师要做到适合每一个、发展每一个，就要恰当制定“立地顶天”的教学目标，采用“由远及近”的启发方式，富有智慧地应对课堂生成事件。