例谈整体与结构化数学思维活动经验的积累

姚蕊

摘要：数学教学要突破课时的限制，引导学生从整体与结构化的角度思考把握数学内容的本质与关联，帮助学生积累整体与结构化的思维活动经验，发展相应的思维能力。具体地，可以从思想方法、学习策略和基本知识等角度入手，引导学生超越课时内容，经历对单元、板块甚至领域、学科内容的整体和结构化思考。

关键词：数学思维活动经验整体与结构化思想方法学习策略基本知识

数学知识具有整体的结构性，表现为内在的统一性和丰富的联系性。但是，细化到课时的数学教学，容易过分聚焦局部的知识点，而忽视整体的知识结构。“智慧不是别的，而是组织得好的知识体系。”因此，数学教学要注意突破课时的限制，引导学生从整体与结构化的角度、思考把握数学内容的本质与关联，帮助学生积累整体与结构化的思维活动经验，发展相应的思维能力，从而使得数学学习化繁为简、化难为易。具体地，可以从思想方法、学习策略和基本知识等角度入手，引导学生超越课时内容，经历对单元、板块甚至领域、学科内容的整体与结构化思考。

一、渗透思想方法

思想方法是对数学探索的理性提炼，是对数学内容的本质认识。在数学教学中，适时渗透数学思想方法，利用思想方法引领、带动数学内容的学习，串联、梳理形成知识结构，可以促进学生对数学内容的整体与结构化思考。

例如，苏教版小学数学五年级上册《多边形的面积》单元，内容涉及平行四边形、三角形、梯形以及组合图形的面积计算。这些内容的学习均需以转化思想为指导，借助割补、剪拼等方法把未知转化为已知，然后通过推理获得结论。所以，引导学生紧扣转化思想这一主线，在思想的感悟、生长和深化中系统建构单元知识，对于学生整体把握图形之间的联系，积累整体与结构化的思维活动经验大有裨益。

首先是对思想方法的感悟：从平行四边形的面积计算开始，通过把平行四边形割补转化成长方形，完成对平行四边形面积公式的推导，感悟转化的方法。其次是思想方法的生长：从平行四边形到三角形、梯形，再到组合图形，改变的是研究的对象，不变的是解决问题的主导思想，在一次次迁移应用中不断放大转化的方法，感悟转化的思想，提升转化的能力。最后是思想方法的深化：在单元学习结束时，对单元知识进行串联、梳理，以转化思想为纽带建立图形及其面积计算之间的关联，形成结构化的知识体系。

二、突出学习策略

秉持“授之以渔”的理念，教师在教学中除了适时渗透数学思想方法之外，还应突出数学学习策略，以促进数学知识的系统建构。

小学数学内容可以分为“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四大领域，前两个领域又可以细分为“数的认识”“数的运算”“常见的量”“式与方程”“探索规律”“图形的认识”“测量”“图形的运动”“图形与位置”等板块。这些板块或领域的内容往往分散于教材各个分册的各个单元中。除了一般、通用的数学学习策略，不同领域、板块的学习还有一些各自比较独特的策略。

例如，小学数学“图形的认识”板块，内容涉及长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆等平面直线或曲线图形的特征与性质。虽然图形不同，但是研究方法（学习策略）是相通的。对于直线图形，都要从要素“边”和“角”入手，发现特征与性质。因此，在认识长方形和正方形时，若能引导学生悟出从“边”和“角”入手的研究方法，学生则可顺理成章地理解三角形按照角和边的特点来分类的合理性，更能在研究平行四边形和梯形时，从“边”和“角”的角度去寻找特征与性质。而曲线图形圆虽然没有一般意义上“边”和“角”的要素，但是仍有其他等同的（至少是研究时）要素。由直线图形的学习扩展到圆的学习，学生将学习策略適当一般化、通用化，也不难找到“圆心”“半径”等要素，并由此入手展开研究。从图形的要素入手研究图形的学习策略，促进了“图形的认识”板块内容的整体联通。

三、抓住基本知识

布鲁纳的“学科结构论”指引教师以“高观点”来考量教学内容，关注学科基本概念、基本原理和基本规律，由此从普遍联系（多维度、交叉式的联系）的视角沟通有关的概念、原理和规律，形成知识整体（分类模块）的结构体系，并且将这一理念付诸教学实践，让学生瞻前顾后、整体关联地理解学习内容，积累整体与结构化的思维活动经验。

例如，站在小学数学“数的运算”的高度，考量苏教版小学数学三年级下册《两位数乘两位数》单元的内容，我们会发现，它处于“整数乘法笔算”的核心地带，是前面“两、三位数乘一位数笔算”的扩展，是后面“三位数乘两位数笔算”的基础;除去一脉相承的前连后通，其运算本身的展开又依赖于乘法的意义、数的组成、位值原则、乘法分配律等基本概念、原理、规律。由此，可以形成如图1所示的“两位数乘两位数笔算”知识包。

*本文系江苏省教育科学“十三五”规划重点资助课题“小学数学思维活动经验形成的案例研究”（编号：Ca/2016/02/01）的阶段性研究成果。

参考文献：

[1] 马立平.小学数学的掌握和教学[M].李士锜，吴颖康，等译.上海：华东师范大学出版社，2011.