数学思维活动经验：内涵、分类及教学策略

摘要：数学思维活动经验是在数学思维活动中积累的经验，主要指“思考（问题）”的经验。数学教学应着重促进学生形成整体与结构化的思维活动经验、严谨与灵活的思维活动经验、批判与创造的思维活动经验。从一般层面看，促进数学思维活动经验形成的教学策略主要有：强化活动体验，促进思维参与;激活已有经验，把握思维起点;在变式中把握本质，内化思维活动经验;在迁移中实现运用，提升思维活动经验。

关键词：数学思维活动经验内涵分类教学策略

《义务教育数学课程标准（2011年版）》把“基本活动经验”作为课程总目标的“四基”之一。数学活动经验是指从经历数学活动（“做数学”）的过程中获得的体验与感悟。“活的”经验是对“死的”（机械套用的）方法的重要补充和完善，尤其对三维目标中“过程与方法”“情感态度与价值观”的达成有不可替代的作用——正如徐利治先生所说的，数学探索过程中“有许多东西必须经过长期的亲身体验才能理解，有许多事情是只能意会而不能言传的”。

史宁中教授等人认为，数学基本活动经验包括“实践的经验”和“思维的经验”，并强调日常数学学习主要应该获得“思维的经验”。“数学是思维的科学。”数学教学最重要的价值是“帮助学生学会思维”。而数学思维活动经验既是数学思维的产物，也是进一步形成思维能力的基础。

目前，学界对数学基本活动经验，尤其是数学思维活动经验的研究尚处于起步阶段，从理论到实践，研究成果还不是很丰富。对此，明晰数学思维活动经验的内涵和分类，探索促进数学思维活动经验形成的教学策略，就显得非常重要。

一、数学思维活动经验的内涵

数学思维活动经验是数学思维与数学活动经验结合的产物。数学思维和数学活动经验都是极为复杂的心理现象，都有着内涵抽象而外延多样的概念，都可以从不同角度和侧面来理解和阐述。因此，数学思维活动经验就有了多重含义。

结合专家学者的相关研究成果，笔者曾尝试对数学思维活动经验的内涵提出自己的理解：“数学思维活动经验就是以空间形式和数量关系为思维对象，借助数学语言和符号，在感悟归纳和演绎推理、发现数学知识和规律、解决数学问题的过程中，只依据思维材料进行数学思维操作活动所获得的经验。”这样的界定，体现了数学思维和数学活动经验的双重特质，并概括了数学思维活动经验作用和形成的对象、方法、过程和结果。

现在看来，这一界定的论述尽管较为严谨，但是不够通俗易懂。通俗地说，数学思维活动经验是在数学思维活动中积累的经验，主要指“思考（问题）”的经验，即从“是什么”“为什么”“怎么办”以及“还能怎样”等角度把问题想清楚、想全面、想深入的经验。相对于数学实践活动经验，其是一种内隐的、不可见的活动经验。

二、数学思维活动经验的分类

同样，数学思维活动经验也具有多种分类，没有统一的标准。

过去，我们常常强调数学思维具有“高度的抽象性”和“严密的逻辑性”。这是不错的，但更多的是从数学研究结果整理、表述的角度来考虑的。实际上，数学研究成果的探索过程是发现与创造的过程，其中还包含猜测、尝试、类比、归纳、想象、直觉、审美等思维。对此，徐利治先生曾结合脑科学的研究成果，把前者称为具有确定性、严格性和一定程度的可行性（可以按照确定要求在有限步骤内完成）的“左脑思维”，把后者称为具有形象性、非逻辑性和一定程度的缄默性（难以用语言表达）的“右脑思维”。

基于数学思维的基本特点（参考了林崇德教授对思维品质的分类），结合当下数学教学的常见误区，笔者认为，数学教学应着重促进学生形成整体与结构化的思维活动经验、严谨与灵活的思维活动经验、批判与创造的思维活动经验。当然，这三类思维活动经验并非各自独立的，而是互有交叉的;强调某一种思维活动经验，只是在某一方面有所侧重而已。

（一）整体与结构化的思维活动经验

作为抽象思维、逻辑思维成果的数学知识，具有内在的统一性（共同本质）和丰富的联系性（相关及因果关系），从而形成了整体的结构。而当下的数学教学常常陷入“只见树木，不见森林”的误区。因此，笔者认为，数学教学应该着重促进学生形成整体与结构化的思维活动经验：从统一与联系的视角入手，系统建构数学知识，扩充完善知识结构，从而促进知识理解，增强知识记忆。一般地，可以用学科大概念统领具体的知识与方法，形成自上而下的建构;也可以在获得具体的知识与方法后，将其带入宏观的体系中加以解释和分析，进行自下而上的完善。

例如，从知识层面看，苏教版小学数学五年级下册《分数的意义和性质》单元中，分数的基本性质是约分和通分的依据，而约分和通分是分数大小比较的重要方法，由此可以构建出如图1所示的知识结构。此外，小数与分数联系十分密切，理解分数的意义是学习小数的前提和基础，因而可以继续扩充完善这一知识结构。

再如，从方法层面看，9加几、8加几、7加几等进位加法，都要利用凑十的方法进行计算;从思想层面看，无论小数乘整数，还是小数乘小数，都要借助转化的思想解决问题……利用这样的统一性，也可以建立相应的知识结构。

（二）严谨与灵活的思维活动经验

徐利治先生曾指出：“用思维科学和心理学的术語来说，数学左脑思维是一种‘收敛思维，而数学右脑思维是一种‘发散思维。收敛思维注重一丝不苟的逻辑分析的验证与论证。发散思维强调海阔天空、自由创造，由此及彼、浮想联翩。……数学创造往往开始于不严格的发散思维，继之以严格的收敛思维，两者相辅相成。”发展收敛思维需要强调思维的严谨性：对数学对象的叙述要精确，对数学结论的论证要周密，要将有关的数学内容组成一个严谨的逻辑系统。发展发散思维需要强调思维的灵活性：能从不同的角度抓住问题情境的特征，灵活运用已有的数学知识，不断调整思维方向去解决问题;能具体问题具体分析，根据情况的变化及时调整原有的思维过程与方法，灵活选择最优的思维过程与方法去解决问题。

教育研究与评论小学教育教学/2020年第5期独家策划而当下的数学教学常常对思维的严谨性和灵活性顾此失彼，甚至两者皆失。严谨性不足的主要原因是，重视定理、公式等的运用，而忽视了它们的推理论证。灵活性不足的主要原因是，重结果、轻过程，囿于经验、思维定式。因此，笔者认为，数学教学应该着重促进学生形成严谨与灵活的思维活动经验：既要符合逻辑地思考，有依据地推理，又能根据需要灵活调整思维。

例如，解决“已知一个圆柱形水桶的侧面积是75.36 dm2，底面半径是2 dm，求其体积”的问题时，学生通常会利用侧面积公式和底面周长公式，求出圆柱的高，进而利用体积公式，求出圆柱的体积。这时，教师可以引导学生列出算式（75.36÷2）×2，然后借助圆柱剪拼为长方体的直观演示，理解这种“侧面积除以2再乘高”的方法的合理性。在解决问题的过程中，灵活创造新的公式，并借助几何直观确认其合理性，正是严谨与灵活的思维活动经验的表现。

（三）批判与创造的思维活动经验

批判性思维原意为审辩式思维，是指个体对某种现象、结论、主张的真实性、准确性、适用性等方面做出的审慎判断（证实或证伪）。英国数学哲学家I.拉卡托斯特别重视数学知识发展中批判性思维的作用——他继承了著名科学哲学家K.波普尔的证伪主义思想，认为（人类建构的）真理是相对的，而不是绝对的，因而是可批判的。他认为，从问题和猜测开始，就有着关于证明和反例的同时性研究。新的证明解释老的反例，新的反例推翻老的证明。在没有经过严格逻辑整理之前非形式化的数学思维活动中，“证明”并不意味着传递真值的机械程序，而只意味着解释、阐述，使猜测更逼真、可信。这种证明的每一步都服从于批判。证明与反驳的功能都在于改进猜测，使之更加准确，更接近真理。因此，可以说，数学的批判性思维是数学发现的必由之路，使得数学思维充满创造的活力。

但是，我们必须承认，当下的数学教学中，批判性思维以及由此而生的创造性思维是一种稀缺的思维品质。因此，笔者认为，数学教学还应该着重促进学生形成批判与创造的思维活动经验：敢于质疑，不迷信、不盲从书本和教师的权威;能发现自己和同学原有认识的错误和不足，不断加以改正和完善;能自觉调控思维进程和对思维结果进行检验;能运用不同方法，从不同角度或不同侧面思考和解决问题;充分经历数学“再创造”的过程。

例如，教学“面积的意义”时，教师要求学生比较两个长方形面积的大小，学生采用了不同的方法。在交流中，学生体会到观察法和重叠法的局限性，进而想到用一个小正方形作为标准去度量的方法。于是，教师给学生不同大小的小正方形，让学生去度量同一个长方形。学生发现结果不同，进而思考原因，发现要统一度量的标准。在这样的活动中，学生不仅加深了对面积意义的理解，而且不断积累着批判与创造的思维活动经验。

三、促进数学思维活动经验积累的教学策略

作为一种数学活动经验，数学思维活动经验的积累首先要充分经历数学思维活动的过程，从中体验与感悟。作为数学思维的活动经验，其又要注意指向思维发展的数学深度学习中的意义（联系）建构、本质理解、迁移运用及批判反思等。由此，从一般层面看，促进数学思维活动经验积累的教学策略主要有以下四条：

（一）强化活动体验，促进思维参与

积累数学思维活动经验首先要在具体的数学思维活动（可以是有实践参与的思维活动，也可以是没有实践参与的思维活动）中体验，并且强调思维的参与。因此，在教学中，教师要精心选择素材、设计问题，并恰当组织数学活动，来启发学生思考。

例如，教学《角的度量》一课，教师首先鼓励学生借助不同的工具测量同一个角的大小，在“为什么同一个角测量出来的结果不同？”的质疑中体会“用同一标准测量的必要性”;接着，课件呈现量角器作为量角工具产生的历史，让学生体验量角的标准——1°角产生的过程;最后，让学生用量角器测量课始出示的角的大小，并交流测量的方法和注意点，特别在看内圈和外圈度数的讨论中加深对角的概念理解。这样的教学，通过多种活动，让学生经历了角的度量工具和标准产生的过程，体验了知识形成过程中的困惑与突破，在思维充分参与中，积累了新的思维活动经验。

再如，苏教版小学数学教材通过“分桃”“分小棒”等活动，引导学生理解“平均分”。但是，很多教师执教本课时组织的“操作活动”，让学生仅有感官参与，而缺少思维参与，导致学生对“平均分”的认识停留在直观和经验层面。笔者执教本课时，将“操作”与“比较”相结合，将操作后的素材作为思考的对象，以促进学生思维的参与：首先初步感知，动手操作把6个桃分成两堆，通过“哪种分法与众不同？”组织第一次比较，引出平均分;接着加深理解，动手操作把6个桃平均分，通过“这些分法有什么相同的地方？”组织第二次比较，体会平均分“每份同样多”的本质;最后反例辨析，观察判断哪组是平均分、哪组不是，组织第三次比较，突出“关注每份个数”。由此，帮助学生积累数学思维活动经验。

（二）激活已有经验，把握思维起点

意义建构是把新的知识和经验融入已有知识和经验的过程，也是重要的数学思维活动经验。因此，在教学中，教师要充分激活学生的已有经验，准确把握学生的思维起点，进而使学生的经验得到改造，思维得以发展。

例如，教学《三位数乘两位数》一课，教师首先给出2、3、4、6四个数字的卡片，引导学生思考：用这四个数可以组成哪些乘法算式？这些算式可以分為几类？分别怎样计算？接着，添加数字7的卡片，引导学生思考：用这五个数可以组成哪几类乘法算式？你会算哪一类？这样，可有效激活学生已有的三位数乘一位数和两位数乘两位数的笔算经验，进而鼓励学生自主尝试计算三位数乘两位数。最后，教师引发学生进一步联想：如果再添上数字8的卡片，又会组成哪几类算式？……

再如，《异分母分数加减法》一课，学习的难点在于“为什么要先通分再计算”。在此之前，学生先后学习了整数的加减法、小数的加减法和同分母分数加减法。这三类加减法的本质都是把相同计数单位上的数相加减。确定了这样的思维起点，教学时可以先出示三类算式各一道，引导学生计算后比较这三类算式的相同之处，由此引入新课的学习。

又如，《长方体、正方体的体积计算》一课，学生的思维起点在于“度量”和“体积”两个概念。在认识长方体和正方体时，学生已经积累了“用若干个1立方厘米的小正方体摆出几何体，算出用了多少个体积单位”的操作和思维活动经验。本课的教学可以从“长方体的体积是什么？”引入，通过“用了多少个体积单位？”“体积是多少？”“怎样数出来的？”这三个问题逐层展开，使学生不仅获得长方体、正方体的体积公式，而且深刻理解“度量”的本质就是“计量单位累加得到一个数”，同时积累相应的思维活动经验。

（三）在变式中把握本质，内化思维活动经验

数学思维特别注重抓住数学对象变中的不变，达到本质的理解和统一的认识。这样的思维活动经验更容易内化。因此，在教学中，教师要尽可能设计丰富的变式（包括概念教学中的概念性变式、解题教学中的过程性变式等），引导学生打破思维定式，把握内容本质。

例如，教学《认识三角形》一课，教师放手让学生尝试画一个三角形，然后借助实物投影呈现学生画的图形，引导学生思考：这些图形大大小小、高高矮矮、胖胖瘦瘦，为什么都是三角形？从而抽象出“有三条边、三个角和三个顶点”的共同特征。接着，教师出示一系列“三角形”的反例，引发学生思辨、讨论，进一步抽象出“三条线段”“首尾相连”“围成”等本质特征，建立三角形的概念。这样，教学就通过呈现正例（形状、大小变式）和反例，突出了三角形的本质属性。

（四）在迁移中实现运用，提升思维活动经验

迁移运用已有知识和经验解决新的问题，可以将间接经验直接化，实现数学思维活动经验的提升。因此，在教学中，教师要尽可能设计相关的问题情境，给学生提供迁移运用已有知识和经验解决问题的机会。

例如，教学《按比例分配》一课，教师呈现问题情境“四杯橙汁都是300毫升，每杯中纯橙汁和水的体积比分别是1∶5、1∶4、1∶1、2∶1”后，先引发思考：哪一杯橙汁更浓一些？每杯中的纯橙汁和水各有多少毫升？再组织讨论：哪一杯比较特殊？从而将“按比例分配”问题与“平均分”问题建立联系，明确之前解决的“平均分”问题就是现在要解决的“按比例分配”问题的一个特例，以此让学生在应用中主动迁移已有知识和经验。

*本文系江苏省教育科学“十三五”规划重点资助课题“小学数学思维活动经验形成的案例研究”（编号：Ca/2016/02/01）的阶段性研究成果。

参考文献：

[1] 郭玉峰，史宁中.“數学基本活动经验”研究：内涵与维度划分[J].教育学报，2012（5）.

[2] 朱向明.数学思维活动经验研究综述[J].新课程研究（上旬刊），2018（1）.

[3] 徐利治，王前.数学与思维（珍藏版）[M].大连：大连理工大学出版社，2016.