思维模型化，提升数学教学效益

任璐

摘 要：思维模型化是指通过抽象、概括的数学逻辑方法，将研究对象转变为特定的关系式和机构，来达到解决问题目的的一种思维方法。初中时期是进行数学思维塑造的黄金时期。教师应当摒弃填鸭式教学，教授学生数学问题的思考方法和思维结构，提升数学课堂的教学效益。下面，本文将从思维模型化的几点途径入手，谈一谈如何利用思维模型话的教学方法提升数学课堂的教学效率。

关键词：思维模型化;分类讨论;数形结合;实际

模型化思维是对数学规律的一种采样分析。学生对于数学理论的认知是通过一些典型案例和数学规律的描述来建立的。但是由于这些认知的感性来源，学生无法进行更为深入的数学推理。数学思维模型化的教学方法可以帮助学生进行数学现象的归纳和总结，使学生学会通过抽象、概括的方法，总结事物的本质特征，掌握解决问题的基本思路。

一、分类讨论，逐一求解

分类讨论在数学问题解决过程中的作用是可以使学生更为全面地思考数学问题，不出现遗漏关键线索的问题。学生可以通过分类讨论的方式，将数学问题的解决思路分成几个版块，在对板块进行逐一求解的过程中，掌握数学问题的动态变化，利用数学逻辑思路来逐步掌握数学思维模型化的技巧。

例如在学习“一元一次不等式组”这节课时，由于函数模型是初中模型中比较重要、比较典型的一类模型，教师可以充分利用函数模型的优势，让同学们进行数学模型的构建。以题目“一元一次不等式组的整数解为{1，2，3}，问适合这个不等式组的a、b的{a，b}的数对的数量，并列举出来”为例，同学们在解决这个不等式组的时候，首先应当明确题目中的未知数x的取值范围。同学们在考虑这个问题的时候，应当分情况考虑。同学们通过化简题目可以得到x的取值范围为：，也就是说同学们需要将x的解集代入这个关系式，分别对a、b的情况进行讨论，逐步得出a、b的取值区间，进一步得出符合条件的a、b的值，从而计算出有序数对的数目。

学生在通过分类讨论的方法解决数学问题的时候，可以对数学解集进行更为深入的思考。在解决函数模型的问题时，教师应当引导学生尝试发现题目中的数量关系，在破解层层关系的同时，进行分类讨论，从不同角度考虑数学解集的各种可能性，达到促进学生思维全面发展的目的。

二、数形结合，转化问题

数形结合可以作为思维模型化教学过程中的典型案例。数形结合的问题一般涉及到几何图形的转化问题。教师可以从几何图形的数量关系的角度出发，让学生在思索、寻找数量关系的同时考虑图形的变化，从而帮助学生将数量关系转化为图形问题，学会从数、形两方面寻找问题的解决方法。

例如在学习“锐角三角函数”这节课时，同学们需要掌握将锐角的三角函数和相关图形结合的方法，并利用锐角三角函数来解决一些数学问题。同学们会发现三角函数虽然是表示角与边的关系，却含有一定的规律，可以用一定的函数曲线表示出来。教师在教学这节课时，可以充分利用三角函数数形结合的特点，培养同学们转化问题的能力。以题目“如何判断梯子的角度”为例，教师可以让同学们自主思考判断梯子更陡。在不采取三角函数讨论的情况下，让同学们发表自己的看法和观点，寻找问题的解决方案。此外，教师可以引导同学们在已知墙面高度和梯子长度的情况下，通过三角函数值来进行实际问题的判断。教师可以帮助同学们将实际问题转化为比较直角边为5m、2.5m的和直角边为5m、2m的的三角函数值，让后再让同学们进行计算和比较。

数与形两方面的思维通路需要得到一定的启发。教师在利用数形结合的案例进行教学时，可以设置一些阶段性问题来启发学生的思路。反过来，学生在逐层思考数学问题的时候，也可以逐步对抽象的数形结合的本质进行了解，使学生学会将抽象的数学实际问题进行转化，这有利于学生模型化思维的建立。

三、联系生活，理性化归

生活案例中的数学原理也可以启发学生模型化思维的建立。教师可以将学生认知较少的知识点与相似的知识点进行类比，将复杂的数学问题等价转化为简单的逻辑问题，让学生在化归的过程中，建立由繁入简的理性思维通路，逐步思考数学问题的解决途径。

例如在“弧长及扇形面积”这节课的教学过程中，同学们可以通过公示的推导过程，进行数学语言的归纳，体验数学与实际生活的联系。由于同学们已经掌握了圆形面积的计算公式，因此教师可以将弧长和扇形作为圆的一部分来进行教学，让同学们自主探索计算过程。以题目“如果一头牛被圈养在夹角为75°的两扇篱笆之间活动，牛的绳索被拴在篱笆的接口处，绳索的长度为20m，问牛的活动范围有多少？”通过阅读题目，同学们在纸上画出草图显示，牛的活动范围应当等于夹角为75°的扇形的面积。在计算这个题目时，同学们想到了角度的问题：因此同学们可以得出扇形面积为，從而求得活动范围的表达式为83.3πm2。

生活中数学问题的提出，不仅可以提升学生的主观能动性，还可以加强学生对于数学原理的应用和拓展。并且，学生还可以在将复杂的数学问题经过逻辑推理，转变成简单的数量关系的过程中，获得一定的成就感。

综上所述，教师可以通过分类讨论、数形结合的教学方法进行思维模型化的教学实践。学生可以在思维模型化的过程中获得问题解决途径的启发，使学生学会将复杂的数学问题进行化归，形成完整的思维网络。

（作者单位：江苏省如东县曹埠镇初级中学）