关于《高等数学》几个教学内容的处理

摘 要： 针对《高等数学》中数列极限、隐函数方程组求导和微分方程特解的求法分别进行了分析，在此基础上提出了三个新的解决问题的方法。

关键词： 数列极限;隐函数;微分方程;特解;导数

如何对学生进行更好的教育，这是我们所有教育工作者以及社会各界人士共同的责任和义务，更是我们孜孜不倦的追求和目标，所以在教学中，要不断地进行相应的改进，以便能对学生进行更好的教育，决不能仅仅教授书本上的知识，要把知识给同学们产生一个系统和严谨的联系。另外，《高等数学》是大学工科各专业非常重要的一门基础课，是学习其他课程的重要基础，同时也是新生学习难度比较大的课程。在如何提高《高等数学》的教学质量这个问题上，我们也一直在不断地努力探索和钻研。所以，在实际教学中，我们注重不断改进教学方法和教学内容的处理，在这些方面，很多教师给我们做出了表率和带头作用。我们在学习优秀教师教学手段的基础上，也取得了一定的进步，同时在教学中，也有了自己的一点心得。下面就是我们的一点教学体会，我从三个方面进行说明。

在《高等数学》上册中，讲到收敛数列的有界性时，我们不妨把数列有界的定义放在数列的概念讲完之后就进行解释，我们知道数列是一种特殊的以自然数为自变量的函数，即它的定义域是全体自然数，先看一下函数有界的概念：

定义1：称函数f（x）有界，若x∈D，都有 f（x）

那么按照函数的概念，很自然地得到了数列有界的定义。

定义2：称数列 an 有界，若n∈N，都有 an

接着，我们可以得到下面的推论：

推论：如果N0，当n>N0时，有 an

这样一来，到后面我们用收敛数列的定义证明其有界性时， 就很自然用到了上面的推论，lim n→

SymboleB@  an=A对于ε=1，N0>0，当n>N0时，有 an-A <1。

即 an < A +1（其中A是数列 an 的极限，即为某一常数）

根据上面的推论，自然知道数列 an 有界。

结果可以说是很自然的，同学们也很容易接受。

在这里，我们把教学的难点进行了分开讲解，降低了教学的难度。

在下册中，讲到隐函数方程组求导时，也是一个难点，我们主要教给学生如何判别变量的類型，这种方法主要是分清楚变量的两种类型，即因变量、自变量。这样才能以不变应万变，做任何题目才能胸有成竹，下面我们举两个例子进行解释。

例1： x+y+z=0

x2+y2+z2=1 ， 求 dx dz

解：[分析：从题目所求的导数知道，原方程组的三个变量中，x是因变量，z是自变量，由于两个方程组成的方程组可以求解出两个变量，可知变量y也是因变量，即变量x，y分别是z的一元函数。

方程组两边对变量z求导，得：

dx dz + dy dz +1=0

2x dx dz +2y dx dz +2z=0

求解方程组得到，  dx dz = y-z x-y

dy dz = z-x x-y

例2：设y=f（x，t），而t是由方程F（x，y，t）=0所确定的x，y的函数，其中f，F都具有一阶连续导数，试证明：

dy dx =  f x  F t - f t  F x   f t  F y + F t

解：[分析：这是教材上比较难的一个题目，但我们只要分清楚变量的类型，就很容易解决，从要证明的结论知道变量y是变量x的一元函数，从而在方程组 y=f（x，t）

F（x，y，t）=0 中，变量t也是x的一元函数，这样一来，这题和上面的例1解法就一样了，只是例2是抽象函数，而例1是一个具体的函数而已。]

对方程组 y=f（x，t）

F（x，y，t）=0 两边对变量x求导，得：

dy dx = f x + f t  dt dx

F x + F y  dy dx + F t  dt dx =0

求解上式可解出 dy dx =  f x  F t - f t  F x   f t  F y + F t  ，证明完毕。

下面是关于《高等数学》（见参考文献[1]）第七章第八节一个教学内容的处理：

在这节的教学中，我们给学生讲解针对不同的非齐次项，如何求出特解的形式，然后代入原来的微分方程，从而求出特解的具体表达式。我们在教学中大都告诉学生，对于第一种情形，我们可以仅仅代入特解中的多项式函数，不用代入整个函数，这是因为我们在证明特解的形式时，就已经得到了如下的结论：

Q″+（2λ+p）Q′+（λ2+pλ+q）Q=Pn（x）eλx

其中λ，Pn（x），eλx（见参考文献[1]）。

显然，我们这样计算非常简便。那么，第二种特解形式有没有同样的简便过程呢？教材上没有对这一问题进行讲解。从而导致在学习这段内容的时候，很多同学只能把两种类型分开去学习，产生了一些困难。由于第二种类型更加难于理解，也使得一些同学产生了厌学情绪。其实这个问题我们可以和第一种特解形式一样的处理。

下面我们就推导这一过程。

设y*（x）=eλx（R1（x）coswx+R2（x）sinwx），代入y″+py′+q，得：

R1″（x）+（2λ+p）R1′+（λ2+pλ+q-w2）R1+2wR2′+（2λw+pw）R2=Pl（x）   （1）

R2″（x）+（2λ+p）R2′+（λ2+pλ+q-w2）R2-2wR1′-（2λw+pw）R1=Pm（x）   （2）

下面我们合并（1）+i（2），得：

R1″（x）+（2（λ-iw）+p）R1′+（（λ-iw）2+p（λ-iw）+q）R1+i[R2″（x）+（2（λ-iw）+p）R2′+（（λ-iw）2+p（λ-iw）+q）R2]

=Pl（x）+iQn（x） （3）

两端实部、虚部分别对应，即可得到（1）和（2）式。

这样，我们就把非齐次项两种类型统一的用一种简便的形式进行求解，这在具体求解时非常的方便，下面我们例说明：

例3见参考文献[1]：求微分方程y″-y=excos2x的一個特解。

解：特征方程为r2-1=0，所以λ-iw=1-2i不是特征方程的根，从而设特解为y*（x）=ex（acos2x+bsin2x），代入（3）式，得：

（（1-i2）2-1）a+i[（（1-i2）2-1）b]=1+i0

即（-4-4i）a+i[（-4-4i）b]=1+i0，从而 -4a+4b=1

-4a-4b=0 ，从而 a=- 1 8

b= 1 8  。

因此所给方程的一个特解为y*（x）= 1 8 ex（-cos2x+sin2x）。

注：我们可以和书本[1]上的解法进行比较，可知我们的解法简便。为了简洁，在此省略书本[1]上的解题过程。

众所周知，处理好教学内容对于教学质量的提高有很大的帮助，当然对于我们教师的教学工作也有很大的促进作用，能够使得我们教师对教材有更深的理解和掌握。这样，我们在教学中才能驾熟就轻，游刃有余，才能保证教给同学一滴水，自己要有一桶水的要求。

参考文献：

[1]同济大学数学系，高等数学（第七版）[M].高等教育出版社，2014.

作者简介： 吴彦强（1976—），男，汉族，江苏徐州，博士，副教授，研究方向：非线性分析。