万有引力与宇宙航行知识荟萃

◇ 山东 吕治华

万有引力与航天涉及行星运动、宇宙航行等问题，与人类的生产、生活密不可分.本文系统总结了万有引力及宇宙航行的相关定律及实际应用，把开普勒定律、万有引力定律以及卫星变轨与追及等问题进行统一，让学生体验“探寻表象—找出规律—理论提升”这一学习过程.

1 开普勒定律

1)开普勒定律内容(如表1所示)

表1

2)核心要点

a)行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理.b)开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动.c)在开普勒第三定律＝k中，k值 只与中心天体质量有关，不同的中心天体k值不同.

2 万有引力定律

1)内容

自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比.

2)表达式

3)适用条件

a)公式适用于质点间的相互作用.当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点.b)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心的距离.

4)要点突破

a)万有引力与重力的关系.地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图1所示.

①在赤道上：＝mg1＋mω2R；

图1

③在一般位置：万有引力等 于重力mg与向心力F向的矢量和.

越靠近南北两极g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即

b)天体上空的重力加速度g′.天体上空距离天体中 心r＝R＋h处 的 重 力 加 速 度 为g′，mg′＝，得，所以

3 万有引力理论的成就

应用万有引力计算天体质量和密度的方法如表2.

表2

4 宇宙航行

4.1 宇宙速度

1)第一宇宙速度(环绕速度)

a)推导：已知地球质量m地和半径R，物体绕地球的运动可视为匀速圆周运动，万有引力提供物体运动所需的向心力，即，可 得v ＝；或已知地面附近的重力加速度g 和地球半径R，由，其数值为7.9km·s－1.

b)第一宇宙速度是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度.

c)第一宇宙速度是人造卫星最小的发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度.

2)第二宇宙速度(脱离速度)

使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2km·s－1.

3)第三宇宙速度(逃逸速度)

使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7km·s－1.

4)要点突破

a)第一宇宙速度是发射人造地球卫星的最小速度，也是人造地球卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，

b)宇宙速度与运动轨迹的关系.当v发＝7.9km·s－1时，卫星绕地球做匀速圆周运动；当7.9km·s－1＜v发＜11.2km·s－1时，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆；当11.2km·s－1≤v发＜16.7km·s－1时，卫星绕太阳做椭圆运动；当v发≥16.7km·s－1时，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间.

4.2 人造地球卫星

卫星的轨道平面可以在赤道平面内(如同步轨道)，可以通过两极上空(极地轨道)，也可以和赤道平面成任意角度，如图2所示.因为地球对卫星的万有引力提供了卫星绕地球做圆周运动的向心力，所以地心必定是卫星圆轨道的圆心，且卫星的各物理量随轨道半径变化而变化.

图2

1)极地卫星和近地卫星

a)极地卫星.极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖.

b)近地卫星.近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球半径，其运行线速度v1＝7.9km·s－1，周期，分别是人造地球卫星做匀速圆周运动的最大线速度和最小周期.

2)同步卫星

a)“同步”的含义就是和地面保持相对静止，所以其周期等于地球自转周期.

b)同步卫星的6个“一定”

同步卫星的特点如图3所示.

图3

4.3 卫星变轨与追及问题

1)卫星发射及变轨过程概述

人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道.如图4所示，发射卫星的过程大致有以下几个步骤：a)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上；b)在A 处点火加速，由于速度变大，进入椭圆轨道Ⅱ；c)在B 处(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.

2)卫星变轨的实质

图4

4.4 双星或多星问题

1)双星模型

如图5所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个天体，它们离其他天体都较远，其他天体对它们的万有引力可以忽略不计.在这种情况下，它们将围绕其连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，通常，我们把这样的两个天体称为“双星”.

图5

双星系统具有以下特点：a)两星围绕它们之间连线上的某一点做匀速圆周运动，两星的运行周期、角速度相同；b)两星的向心力大小相等，由二者之间的万有引力提供；c)两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1＋r2＝L，轨道半径与两星质量成反比.双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即有

2)多星系统

在宇宙中存在类似于“双星”的系统，如“三星”“四星”等多星系统，在多星系统中：a)各个天体做圆周运动的周期、角速度相同；b)某一天体做圆周运动的向心力是由其他天体对它引力的合力提供的.

5 知识网络

万有引力与宇宙航行的知识网络如图6所示.

图6