数学建模竞赛与高等数学课堂教学

李亚利 缪 清

（云南民族大学数学与计算机科学学院 云南·昆明 650500）

0 引言

数学建模旨在用数学知识和和方法来解决实际问题，在数学建模的过程中，首先通过分析问题，把实际问题转化为数学语言，从而描述成大家较熟悉的数学问题。然后借助数学理论、计算机理论等工具对这些数学问题进行求解，最终获得相对应实际问题的解决方案或者对相应实际问题有更深入和更详细的了解。随着科学技术的发展日益迅猛，数学建模已经被广泛应用在生物、化学、医学、工程技术、航天科技等众多领域。因此数学建模也越来越受到社会的普遍重视，并成为现代科学技术工作者必备的重要能力之一。很多高等院校也把每年的全国大学生数学建模成绩作为衡量教学水平的一个重要指标。

1 数学建模竞赛与学生

数学建模竞赛对学生的学习有极大的促进作用，也是检验学生学习成果的一种手段。以下我们分三点来阐述数学建模竞赛对学生的积极影响。

1.1 激发学生学习兴趣

不了解数学的人们都说，数学的学习是枯燥无用的。事实上，如果学生只是去死板的证明课本上的数学定理、验证数学公式，那么当然会觉得枯燥无味。但是如果学生可以自己动手利用所学的课本数学知识去解决了一些实际问题，那么他们就会看到数学知识的重要，就会激发学习兴趣，学习效果就会事半功倍。而每年的数学建模竞赛的试题往往比较灵活，并且涉及到的领域可能是学生平时接触不到的。当学生拿到竞赛试题，首先需要将实际应用问题用数学语言描述，也就是我们说的建模过程。这就会让学生认识到平时的基础课、专业课的理论学习不是无用的，在现实生活中、现代科技中都是非常重要的，从而就促进了学生对数学基础知识的兴趣培养。此外，很多高校也对数学建模竞赛成绩好的学生有政策上的奖励机制，比如综合测评加分、推免优先等奖励制度，也都激励了学生去参加数学建模竞赛，大大提高了学生学习数学的积极性。

1.2 提高学生解决问题的能力和创新能力

数学建模竞赛和其他单个学科竞赛不同。例如数学竞赛、物理竞赛、计算机设计大赛等，这些竞赛平台只涉及到一门学科或一门课程的相关知识，而数学建模竞赛可以涉及到数学、物理、化学、计算机等其他学科的相关知识。仅仅数学学科就包含高等数学、线性代数、概率论与数理统计、计算方法、运筹学、数学软件等课程的相关知识。因此学生要想在数学建模竞赛中取得好成绩，必须学会综合运用各科知识，去发现和搜寻信息、整合材料，寻求解决问题的方法，这个过程对学生来说是一个挑战。事实上，数学建模试题也没有标准答案，试卷的评分标准看的就是学生解决问题的能力和创新能力。

1.3 培养学生坚韧不拔和团队合作的精神

数学建模竞赛要求3名队员在3天时间内完成数学建模的全过程，包含论文写作。这3天内，需要参赛队员分析问题、查阅文献，甚至学习新的知识等。在这个过程中，不能认为竞赛题目有困难就退缩。数学建模的全过程会让学生认识到做任何事情都要有挑战困难、迎难而上的信心，要有坚持不懈、坚韧不拔的决心和精神。事实上，不少参加竞赛的学生也的确面临各种困难，甚至有熬夜查阅资料的现象，但最终能够不畏困难、坚持不懈的学生也取得了较好的成绩。另外，参加竞赛的队员往往是由不同专业背景的学生所组成，那么在面临新问题的时候，就须要他们各自发挥自己的专业优势，结合实际情况，综合分析问题。因此整个竞赛过程就需要队员之间有强烈的团队合作的精神，精诚协作才能最终解决问题。而团队精神也是学生走向工作岗位所必备的一种能力。

2 数学建模竞赛与教师

数学建模竞赛是一种对学生综合能力的考察，因此对于指导数学建模竞赛的教师来说，也会面临不小的压力。因为大多数指导教师只是精通于一门学科，在面临不太熟悉领域里的新问题的时候，也会显得力不从心。于是这就迫使教师在平时的教学过程中，必须充分思考，把数学建模的思想渗透到平时的课堂教学中去。同时要扩展教师自身的综合知识，提升自身的学术水平。

首先，我们以数学学科中高等数学和线性代数课程为例，来具体的分析和探讨数学建模思想在课程教学中的应用。

来看这样一个实例。设足球门宽度为4米，一球员在球门右侧沿垂直于底线的方向带球向底线上距离球门右门柱6米的点处跑去。问题：这个球员在距离底线多远处可以获得最大的射门张角？通过分析问题，我们可以知道，这个看上去对女生来说不太熟悉的实际问题即是求这个球员在距离底线多远处与两门柱连线的夹角最大？因此这样一来，我们就把这个实际问题转化为了数学问题，也就是数学建模问题。事实上，如果设球员在距离底线 米的地方开始射门，则射门的夹角 可以表达为 的函数：

于是这个问题就转化为求(1)式中函数 的最大值。也即求一元函数的极值或者最值问题，这就是高等数学中的基础问题。只要求出函数 的稳定点，再参照一元函数求极值的步骤即可。事实上，函数(1)的稳定点是唯一的，因此根据实际情况（ >0），这个稳定点一定是函数(1)的最大值点。

我们知道，运筹学模型是数学模型的一种常见模型。在这里，我们以线性规划模型和运输问题方面的运筹学应用模型为例，来说明数学建模思想对线性代数课程教学的促进作用。

从线性规划模型的一般标准形式：[1]

可以看到，模型中的约束条件是用线性方程组来表示。因此，教师在讲授线性方程组相关知识的的时候，应该让学生同时认识到线性方程组的理论内容和实践应用都是非常重要的。除了讲授线性方程组的概念、线性方程组解的情况等理论知识外，还需让学生根据实际问题自己动手去建立一些线性方程组。这样做也可以激发学生的学习兴趣，提高他们学习的积极性。此外，线性规划模型单纯形法求解以及运输问题表上作业法求解也是线性代数课程中矩阵理论、向量线性相关理论的重要体现。因此教师在讲授这些理论的时候，要逐步验证，让学生看到数学建模思想和基础课程事实上是密不可分的。

其次，随着建模竞赛的普遍深入，也需要教师改变传统的教学模式，并且积极探索适应课程的多种教学手段。下面我们以“数学建模”课程为例分析探讨数学建模竞赛对教师教学模式的影响。面对市场上名目繁多的数学建模教材以及参考资料，教师如何选择适合本校学生水平的教材是一个需要探索、反复实践的过程。那么最好的解决方案就是经过实践，根据实际情况编制自己的教学材料。并且在现在的课程教学中，由于诸多原因的限制，大多数老师只能采取“满堂灌”的教学模式来完成教学任务，也就是将知识单纯机械的输入给学生，这样的做法不能发挥学生的学习主动性，会让学生失去学习的兴趣。因此，针对数学建模课程，教师应该特别注意教学互动，发挥学生在学习过程中的主体地位和主观能动作用。例如，在上课之前，教师充分准备好上课材料，把本节课的内容分为若干小节。上课时先由教师讲授理论内容，这大约占到课堂时间的三分之一。然后把分配好的若干小节内容以小组为单位分发给学生，让学生分别讨论各部分的内容。最后让每个小组根据自己的分析，在课堂上汇报自己小组的解题大纲。这样可以促进学生之间知识的融汇、思想的交锋。

另外，随着信息技术的发展，教师应该充分借助多媒体教学手段，提高课堂效率。如现在的微课程、慕课、雨课堂等新型教学模式都是充分借助于互联网技术，学生们在手机上就可以随时听老师授课，也可以在手机上完成作业的提交等。

最后，关于数学建模竞赛，笔者根据自己的体会，并借助于文献[2-3]中作者的经验，给予以下两点思考与读者进行探讨。一方面，我们前面提到，数学建模竞赛的指导教师应该首先提升自身学术水平。那么除了教师自己要不断扩展知识，接触新模型新方法外，还需要学校给予一定的支持，如组建一支稳定的、具有较高业务水平和奉献精神的指导教师队伍。并且每年都吸收青年教师加入，因为青年教师思想观念新、精力充沛，会给学生带来生机和活力，更能够激励学生克服困难。另一方面，由于竞赛过程中，按照规定学生不能和指导教师讨论竞赛试题，因此组织学生进行赛前训练和强化是非常重要的。例如学校可以邀请具有丰富参赛经验的专家或者老师开展数学建模讲座，和其他高校进行交流；组织赛前强化训练班，让学生改变思想认识，端正竞赛态度。然后就是集中训练竞赛中可能用到的数学知识和计算机软件相关知识。最后是研读历届数学建模竞赛优秀论文，增加学生参赛经验。

3 结语

本文针对数学建模竞赛，分析和探讨了竞赛平台对学生和教师的积极影响。一方面可以提升学生的综合素养，另一方面也促进了教师课堂教学内容和教学模式的创新。总之，无论对于学生的学习，还是对于教师的讲授，都应该将数学建模思想融入到平时的课堂中去，最终培养出适应时代需求的优秀人才。