二元函数可导性与可微性的探讨

王仲梅 ,孟献青

（1.湖南工商大学数学与统计学院，湖南长沙 410205；2.山西大同大学数学与统计学院，山西大同 037009）

1 连续、偏导数及可微的概念

定义1如果，则称函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续。如果f(x,y)在区域D上每一点都连续，则称f(x,y)在区域D上连续。

定义2设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内有定义，如果极限存在，则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数，记作即类似地，函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对y的偏导数定义为

定义3如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y) 可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中，则称函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分，AΔx+BΔy称为函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分，记为dz，即dz=AΔx+BΔy。

2 连续、偏导数及可微的重要定理

关于二元函数f(x,y)的连续、偏导数存在及可微已有的相关定理。

定理1若z=f(x,y) 在点(x,y) 可微分，则z=f(x,y)在(x,y)处连续。

定理2若z=f(x,y) 在点(x,y) 可微分，则z=f(x,y)在(x,y)处偏导数存在。

定理3若z=f(x,y)两个偏导数在点(x,y)处连续，则z=f(x,y)在(x,y)处可微。

定理4如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数都在区域D内连续，则在D内，即二阶混合偏导数与求偏导的先后次序无关[1-3]。

3 连续、偏导数及可微的主要结论

结论1二元函数f(x,y)在点(x,y)的偏导数存在，但在该点可能不连续。

例1函数在点(0,0)处不连续，但偏导数在。

解故f(x,y)在点(0,0) 处极限不存在、不连续；fx(0,0)=同理，fy(0,0)=0，故f(x,y) 在点(0,0) 处偏导数存在且fx(0,0)=fy(0,0)=0。

结论2二元函数f(x,y)在点(x,y)连续、偏导数存在，但是在该点不可微。

例2函数在点(0,0) 处连续、偏导数存在且fx(0,0)=fy(0,0)=0，但f(x,y)在(0,0)不可微。

解由夹逼定理有

点(0,0)处连续；又同理，fy(0,0)=0，故f(x,y)在点(0,0)处偏导数存在且fx(0,0)=fy(0,0)=0；而

不存在，故f(x,y)在点(0,0)处不可微。

结论3二元函数f(x,y)在点(x,y)可微、但是偏导数不连续，即定理3的逆命题不成立。

例3函数在点(0,0)处连续、偏导数存在、可微，但偏导数不连续。

解故f(x,y)在点(0,0)处连续；

同理，fy(0,0)=0，故f(x,y)在点(0,0)处偏导数存在且fx(0,0)=fy(0,0)=0；又

故f(x,y)在点(0,0)处可微；

当x2+y2≠0时，fx(x,y)=不存在，故不存在，所以fx(x,y)在点(0,0)处不连续。

结论4二元函数f(x,y)在点(x,y)的混合偏导数不一定相等。

例4函数fxy(0,0)，fyx(0,0)存在，但是不相等。

所以

类似可得fyx(0,0)=1。