一类带有两个扰动微分方程的渐近概周期解

姚慧丽 孙源源 王晶囡 张娜

摘要：在众多研究中，很多现象都是用微分方程作为数学模型的。但在建立方程的过程中，不可避免地会出现一些干扰力，这类方程称为带扰动的微分方程。利用压缩映像原理以及指数二分的相关结论，对一类带有两个较小的正扰动的微分方程的渐近概周期解给于讨论，给出了这类方程存在唯一的渐近概周期解的条件。

关键词：渐近概周期解;扰动;微分方程;压缩映像原理;指数二分

DOI：10.15938/j.jhust.2020.02.019

中图分类号：0175文献标志码：A 文章编号：1007-2683（2020）02-0138-08

0 引言

自1925-1992年，几位数学研究者先后提出了概周期型函数理论以来，已被广泛应用于各种微分方程中。其中，带有扰动的微分方程在很多领域都会涉及到，如力学、生物学、自动控制等。而概周期型函数是比周期函数更广的函数，所以研究扰动微分方程的概周期型解具有更广的意义。已有不少文献对带有一个扰动的微分方程的概周期型解的存在和唯一性进行了探讨。相比之下，带有两个扰动的微分方程的这类解被討论的却较少。在文中，作者对带两个扰动的微分方程

进行了研究，给出了这类方程存在概周期解的条件，其中A（t，ε）是定义在Rx[0，ε₀]上的n×n阶函数矩阵f（t，x，u），g（t，x，u）是定义在R×S×[0，u₀]上的函数，u₀，ε₀是两个小参数，S是Rⁿ的任意紧子集。本文将对方程（1）的渐近概周期解加以研究，给出它有唯一此类解的条件，从而对已有结果进行了推广。

1 预备知识

本文中C（R，Rⁿ）表示定义在R上而取值于Rⁿ的有界连续函数全体。C（R×Rⁿ，Rⁿ）表示定义在及×Rⁿ上而取值于Rⁿ的全体有界连续函数。类似的空间还有C（R×Rⁿ×[a，b]，Rⁿ）以及（C（R×Rⁿ×[a，b]×[c，d]，Rⁿ））。另外，若对以上集合中的函数赋予上确界范数，则它们都为Banach空间。

定义1函数f∈C（R×Rⁿ，Rⁿ）称作关于t∈R且一致对x∈s（S是Rⁿ的任意紧子集）是概周期的，是指若对任意的ε>0，f的ε-平移集

2 主要结果

本部分主要对方程（1）进行讨论，其中A（t，ε）是定义在R×[0，ε₀]上的n×n阶渐近概周期函数矩阵f（t，x，u），g（t，x，u）是关于t∈R的且对（x，u）E S×[0，u₀]的n维一致渐近概周期函数，u₀，ε₀是两个小参数，S是Rⁿ的任意紧子集。

构造以下方程