折纸艺术在机械工程中的应用

陈心蔚

摘  要：本文是對机械工程中折纸艺术最新的研究综述。主要介绍了折纸中常用的基本概念和定义，包括重要数字折纸研究的背景。本文不仅概述了折纸在机械工程中的应用，还介绍了基于折纸的设计过程和当前可用于设计的软件的基础。本文的目的是向可能不熟悉这个领域的机械工程师介绍这个主题，并鼓励他们基于折纸在机械工程中的设计和应用。

关键词：机械工程;设计;复杂系统;包装;设计研究

1前言

尽管折纸艺术具有丰富的美学历史，但绝大多数实际应用已经出现在过去的50年内。计算机科学，数论和计算几何学的进步为强大的新分析和设计技术铺平了道路，如今这些技术已远远超出了艺术本身1。尽管机械工程一直与部件之间可以发生相对运动的设备有关，从某种意义上讲，这种运动可以折叠，但机械工程的折纸领域却是最近才开始发展，它正在带来新的有用的结果。现在可以使用折纸概念有效地设计和分析一维折叠链接，二维平面形状和三维多面体。本文概述了折纸在机械工程中的研究现状。它简述了数学和计算机折纸，大多数工程学所依赖的学科，并概述了已开发的主要应用程序2。

2折纸的数学背景

尽管折纸的数学方法已经做了大量的工作，但我们仅涉及与本综述相关的一些重要的几何，拓扑和优化方面。虽然目前尚不存在本节中的数学主题与应用程序之间的紧密联系，但本次审查的目的之一是提出最相关的数学主题，以帮助促进数学的发展。数学理论与机械工程应用之间的紧密联系。

多面体是由多边形组成的任何3D曲面，它们是边缘为直线的2D平表面。折纸可用于通过折叠从平整的纸上创建任何多面体。证明这涉及将一张纸折叠成一个细长的矩形。接下来，必须对要建模的多面体的多边形面进行三角剖分。这样可以覆盖多面体表面上的每个结果三角形。使用锯齿形路径，与下一个三角形的共享边成对角线并从对角开始，用于多面体上的每个三角形。旋转小工具可用来创建路径，该小工具将条带通过山形折痕折叠到其自身上，并以所需的角度将背层折叠起来。

平面折叠性是设计的属性，可以将其折叠到一个平面中，厚度由材料确定。对多顶点折叠的全局平坦折叠性进行归纳是一个NP难题，并且仍然存在，但是单顶点情况已广为人知。从一个顶点发出的折痕图案由折痕之间的n个角度定义，对于一张整张纸，折痕之和为360°。

3 折纸在机械工程中的应用

3.1应用于工程的折纸

纸在大多数数学研究中都被认为是二维的，而不是绝大多数工程应用中使用的材料。但是，重要的是研究和理解折纸在折痕之间如何折叠，以便将这些结果外推到工程中使用的材料上3。以前，我们假设纸张的面在折叠过程中保持笔直。但是，这不一定是正确的，因为纸张是柔性的。

为了解释表面如何折叠，将高斯曲率定义为3D曲面上任一点的最小和最大曲率的乘积。鞍形为负，凸圆锥形为正，本征平面为零。总的高斯曲率在折叠过程中不会改变。折叠一张纸将始终形成曲率为零的形式，并且最小曲率在每个点处局部为零。这就解释了如何通过压下外壳的中间部分使比萨饼片具有一定的弯曲度并支撑比萨饼的长度，从而有效地处理比萨饼，比萨饼的长度现已受到限制。

从理论折纸向工程学过渡的一个主要挑战是在材料中增加一些有限的厚度。在已开发的大多数数学结果中，都假定厚度为零的2D表面。已经提出了几种增加厚度的方法，它们都涉及铰链或折痕的一些调整。本质上，任何折叠设计中的边缘都可以在谷形折痕处铰接在一起。主要问题是在一个顶点上有几条折线。不再有并发边缘，并且边缘变得过度约束。有多种方法可以在每个顶点使用对称性并实现可行的设计。也有可滑动的铰链，允许边缘沿连接面板的表面滑动。

解决过度约束问题的一种方法是修整山谷两侧的边缘体积，而不是将铰链移动到山谷褶皱。这样可以使顶点以不与边缘相交的方式变角。图1显示了这些方法的示例。在许多折纸工程应用中，另一个障碍是折叠的成本和时间，这对可能引入折叠的应用构成了障碍。另外，必须达到耐用性，因为工程应用可能需要反复折叠和展开。以下是折纸机械工程应用的一些主要领域。

3.2折纸在运输、包装和储存中的应用

折叠可用于提高在有限空间内运行的设备的性能。因此，该区域中的设备通常以折叠状态或未折叠状态存在，并且在任何一个方向上都不显示最终运动。大多数工程应用使用的材料不如纸柔韧性好，并且近似于刚性。数学解决方案可以在许多不同的工程应用中实现。消费品包装提供了广泛的刚性折纸示例，包括自动包装折叠过程和设计最有效的包装。

折纸制造包装中的一个折纸的最新例子是扁平折叠式刚性购物袋。该解决方案可使纸箱底部保持刚性，并可应用于各种尺寸比率和厚度的购物袋。新的折痕图案是用于折叠袋的传统图案的变体，但上部和下部被围绕袋的水平折痕分隔开。相对容易地显示出包括基部的下部是可刚性折叠的。为了实现工作设计，将袋子分成四个相同的部分，每个部分居中，并且由于对称性，只分析了一个部分。基于矢量的方法通过证明结构中的每个面板保持平面并在整个折叠过程中与相邻面板连接，从而确保袋子可刚性折叠。唯一的设计变量是角度的选择，该角度决定了袋子侧面相对于水平方向的折痕。此变量具有最大和最小允许值，该值由高度相对于整个袋子深度的比率确定。设计中的唯一其他限制是为袋子提供足够的宽度，以确保在折叠运动过程中袋子的顶角不相交。由于导致刚性可折叠性的条件的高度非线性特性，因此可以找到数值解。

空容器的运输在航运业中是不可避免的，并且已经进行了多次尝试来制造可折叠的运输容器。展开和折叠容器时必须具有简单性和耐用性，并且应使用轻质材料来降低皮重。尽管折纸驱动通常用于工程折纸，但是在这种情况下，手动展开和折叠可能更为合适，以降低成本并保持设计的坚固性。考虑到该解决方案对各种尺寸比例的鲁棒性，与刚性和扁平折叠购物袋中使用的折痕样式相似的折痕样式可能会对该应用有所帮助。迄今为止，已经向市场推出了两个主要的可折叠容器，但它们都没有在商业上获得成功，因为它们具有更高的皮重，并且比标准容器贵得多。

结论

折纸是一种艺术形式，目前正在发现许多工程应用。这项调查描述了折纸在机械工程中的主要应用。尽管将折纸数学直接应用于工程的情况仍然很少见，但最近领域的扩展已导致可用于定义折叠和展开极限的算法，并为基础概念提供了基础，例如刚性折叠性。已经在航空航天，生物医学设备，包装，存储，制造，机器人技术，机制，自折叠设备，核心结构和体系结构等领域探索了应用程序。

参考文献

[1]  Greenberg，H.; Gong，M. L.; Magleby，S. P.;Howell，L. L. J. M. S.，Identifying links between origami and compliant mechanisms. 2011，2（2），217-225.

[2]  Bowen，L. A.，A Study of Action Origami as Systems of Spherical Mechanisms. 2013.

[3]  Jianguo，C.; Xiaowei，D.; Jian，F. J. S. m.;structures，Morphology analysis of a foldable kirigami structure based on Miura origami. 2014，23（9），094011.