P-SMCG法在TSV阵列电磁散射特性快速分析中的应用

李 娜,缪 旻

(北京信息科技大学 信息与通信工程学院，北京 100192)

0 引言

近年来，随着电子集成封装技术的快速发展，三维互连技术越来越受到关注。硅通孔(through-silicon via，TSV)具有低密度、低功耗、低时延等优势,是解决高速互连问题的关键。这种垂直互连技术可应用于三维圆片级封装(three-dimensional wafer-level-packaging，3D WLP)、三维系统级封装(three-dimensional system-in-package，3D SIP)、三维堆叠集成(three-dimensional stacked-integration，3D Stacked-IC)、三维芯片系统(three-dimensional system-on-a-chip，SoC)等领域[1]。由于电子产品的工作频率和互连线传输数据速率的提高，大规模TSV阵列在高频条件下对衬底中横向传播的电磁波产生显著的散射，从而产生电磁干扰(electromagnetic interference，EMI)[2]、串扰、噪声和其他信号完整性等问题[3]。因此，研究硅衬底中基于密集TSV阵列的大规模三维互连网络中的多重散射问题具有重要的意义。

常见的三维集成中通孔结构的电磁建模方法主要有准静态法和离散数值分析方法，前者应用于低频条件，后者应用于高频条件，这些方法通常以散射参数(S参数)为指标来表示信号传输性能的优劣。目前使用比较多的、最简单的建模方法是准静态分析法，文献 [4-5]在该方法的基础上提出了集总参数等效电路模型。该模型在低于20 GHz时全波三维仿真结果与测试结果有较好的一致性，而对于更高频率的散射效应没有精确建模。所以这种方法的精确性和普适性还存在一定缺陷。随着计算机硬件设备性能的大幅提升，时域有限差分法(finite difference time domain，FDTD)、矩量法(method of moments，MOM)、有限元法(finite element method，FEM)[6]以及场—路协同仿真法[7]等数值方法得到了广泛的应用。这些方法可以在高频条件下建立密集TSV的电磁模型，但是仿真需要大量的计算时间。

为了解决上述方法存在的问题，本文采用Foldy-Lax方程半解析技术对硅衬底中TSV之间的多重散射特性进行全波电磁建模，并利用预处理稀疏矩阵正则网格(preconditioned sparse-matrix canonical-grid，P-SMCG)方法求解Foldy-Lax方程，快速获取代表TSV阵列散射特性的S参数。稀疏矩阵规则网格(sparse-matrix canonical-grid，SMCG)法是一种高效率的数值计算方法，通常用于解决粗糙表面和三维介质目标的电磁散射问题[8-9]。该方法将所有场相互作用分解为强相互作用(近场)部分和弱相互作用(远场)部分，通过优化散射传播行为分析算法，建立可快速计算三维系统级封装中电磁问题的数学、物理模型，求解其有限介质空间的电场和磁场分布，以达到降低计算资源和时间消耗的目标，优于商用全波仿真软件HFSS(high frequency structures simulator，HFSS)[10]。对于大规模TSV多重散射问题，SMCG方法的收敛速度较慢，本文对SMCG方法中包含主导信息的近场通过LU分解进行预处理，减少了迭代次数，加快了收敛速度，提高了计算效率。

1 电磁建模

1.1 TSV在SiO2-Si-SiO2衬底中的模型

单层SiO2-Si-SiO2衬底和单个TSV纵截面结构如图1所示。

硅衬底两侧的SiO2平面具有防止来自其他层元件电磁干扰的作用，使得研究单层的TSV信号传输性能和耦合模式不受影响。为了限制沿TSV轴线流动的电流，使两个平行平面间形成波导，将等效磁流作为TSV端口处的激励，放置在焊盘的空隙上，如图2所示。

由于磁流激励没有方位依赖性，因此仅激发TM波[11]。通过求解SiO2-Si-SiO2衬底中的TM模式方程(1)得到硅衬底中的波数kρl。

(RTM)2exp(-2jk1zd)-1=0

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

式中：RTM为包含Si边界处所有信息的最终反射系数；k1、k2和kc分别为Si、SiO2和Cu的波数；ε1、ε2和εc分别为Si、SiO2和Cu的介电常数；d和h分别为Si和SiO2的厚度。TM模式的一阶近似公式为

(6)

(7)

式中l为模式的阶数，l=0,1,2,…。

1.2 Folay-Lax方程对柱面波展开

N个TSV的等效示意图如图2所示。a、b、c分别为铜半径、铜加涂层SiO2半径以及TSV焊盘空隙的半径。两个SiO2平面分别位于z=d/2和z=-d/2处，N个TSV分别位于ρ1,ρ2,…，ρN处。根据等效原理，两个平面间TSV处的等效磁流Mqu位于(ρq,z′=d/2)、Mqb位于(ρq,z′=-d/2)(q=1,…,N)。其中，下标u表示位置处于TSV上端口即z′=d/2，下标b表示位置处于TSV下端口即z′=-d/2。经过多次散射后，多个TSV中第q个TSV最终的总激励场为

(8)

(9)

[J0(k1ρlc)-J0(k1ρlb)]

(10)

(11)

式中：

Bm=

(12)

(13)

(14)

(15)

式中：Jm(k1ρ)、Ym(k1ρ)分别为第一类和第二类m阶Bessel函数；Hm(k1ρ)为第一类m阶Hankel函数。

(e-jk1zld+RTMejk1zld)

(16)

(1+RTM)

(17)

1.3 导纳矩阵

硅通孔中的激励电流通过与电压和导纳的联系得出：

Iuu=YuuVu

(18)

Ibu=YbuVu

(19)

式中：Iuu和Ibu为N维激励电流矢量；Vu为N维电压矢量。

导纳矩阵的每一列可以用相应的端口激励条件独立求解：

(20)

(21)

散射矩阵通过与导纳矩阵的联系得出：

S=(Y0E+Y)-1(Y0E-Y)

(22)

2 SMCG方法

在SMCG方法中，硅通孔p与硅通孔q周围其他硅通孔对于硅通孔q总激励场的具体求解过程如图3所示。

通过平移到相邻的规则网格来间接求解两个TSV之间的弱(远场)相互作用。定义虚线圆圈内为强(近场)相互作用，可通过直接法得到结果；虚线圆圈外为弱(远场)相互作用，通过使用二维快速傅里叶变换方法(two-dimensional fast Fourier transform，2D-FFT)加速弱相互作用矩阵与列向量的乘法运算。对于SMCG方法，Foldy-Lax方程(9)可改写为

Jm′-m(kρl|ρp-ρp0|)ej(m′-m)φρpρp0×

Jn-n′(kρl|ρq0-ρq|)ej(n-n′)φρq0ρq+

(23)

式中S(p)为硅通孔p强(近场)相互作用内的硅通孔集合，并将其进行预处理。定义硅通孔q在硅通孔p强(近场)相互作用内满足的条件为

|ρp0-ρq0|≤D

(24)

式中D=0.2λ，为近场半径，一般取D=3r，r为方格的长度。

定义一组阶数(m,n,m′,n′)，将式(23)改写为矩阵方程形式：

Zw=a

(25)

Z=Z(S)+Z(W)

(26)

Z(W)=L(d)Z(G)L(u)

(27)

3 P-SMCG方法

通过预处理技术，将式(25)转换为等效矩阵方程：

M-1Zw=M-1a

(28)

(29)

其中

(30)

(31)

3)使用快速傅里叶变换计算Z(W)w，将结果存储到X1，即X1=Z(W)w；

4 仿真结果与分析

具体仿真参数如表1所示。

表1 TSV建模的具体参数设置

利用快速计算方法P-SMCG仿真并验证了两个TSV模型的散射参数，第一个模型为1×2信号TSV阵列，第二个模型为7×7信号TSV均匀阵列。这两种仿真模型的数值计算结果与全波电磁仿真软件HFSS及未预处理SMCG方法结果具有很好的一致性。两种模型仿真所需CPU时间如表2所示。

表2 CPU时间

4.1 1×2信号TSV阵列仿真与分析

1×2信号TSV阵列仿真模型如图4所示。

1×2信号TSV阵列仿真模型的散射参数如图5～8所示，分别显示了信号TSV的回波损耗S11、插入损耗S21、近端串扰S31和远端串扰S41。在高达40 GHz的频段内可以观察到使用P-SMCG方法所得仿真结果与HFSS仿真及未预处理SMCG方法得到的散射参数之间具有很好的一致性。

由表2可知，1×2信号TSV阵列模型在Matlab平台仿真0～40 GHz频段得到数值解所需CPU时间为2.863 025 s，而对于相同结构，未预处理SMCG需要4.305 758 s，HFSS仿真需要48 s。通过仿真1×2信号TSV阵列模型表明，本文所使用的P-SMCG方法在计算效率方面占有一定的优势。

4.2 7×7信号TSV均匀阵列仿真与分析

为了证明P-SMCG方法在求解高密集TSV中占据绝对的优势，仿真分析了7×7信号TSV均匀阵列，阵列模型如图9所示。几何参数和材料属性与1×2信号TSV阵列模型相同。

7×7信号TSV均匀阵列模型的散射参数如图10～12所示，分别显示了拐角TSV(端口1)和中心TSV(端口25)的插入损耗、回波损耗及其与相邻TSV间的近端串扰。由图可知，P-SMCG方法得到的数值结果同HFSS仿真和未预处理SMCG方法结果吻合良好。由表2可知，7×7信号TSV均匀阵列模型在MATLAB平台仿真得到计算结果用时32.957 382 s，而对于相同结构模型，未预处理SMCG需要53.854 219 s，HFSS仿真需要2858 s。仿真7×7信号TSV均匀阵列结构表明，对于高密集TSV，本文所采用的P-SMCG方法在计算效率方面展示了显著的优势。

5 结束语

本文采用预处理稀疏矩阵正则网格(P-SMCG)方法对硅衬底中的多个TSV阵列的电磁散射特性进行了分析。该方法通过LU分解法构造预处理器，优化SMCG方法，快速计算散射参数，减少了时间消耗。数值计算结果表明，P-SMCG方法的计算结果与HFSS仿真和未预处理SMCG方法结果具有良好的一致性。在计算效率方面，P-SMCG方法优于商用仿真软件HFSS及未预处理SMCG方法。