试论整体思想在“解一次方程组”中的运用

卢理芳

【摘要】在初中数学教学中，方程是重要的教学内容。在方程组解答的过程中，“消元”是基本的解题思路，学生通过消元消除方程组中的一个未知数，能将其化作一元方程，然后根据相应的求解方式完成方程组的解答。但是，面对一些一次方程组，消元并非最好的方式，我们需要根据题目中的要求，分析题目的形式和特征，有效利用整体思想，完成题目解答，从而更加快速、有效地解决方程组问题。基于此，本文结合一次方程组解题，提出整体思想在“解一次方程组”中的应用策略。

【关键词】初中数学;一次方程组;整体思想;应用策略

面对初中数学中一次方程组的解题时，我们通常采用消元的方法，将未知数消除一个后，再进行求解。其中，代入消元和加减消元是两种有效的消元方式。同时，在解题时，我们可以根据已知方程组的具体特点，选择适当的解题方法，灵活运用“整体思想”，整体代入，整体加减。这样，不仅可以化难为易、化繁为简，达到事半功倍的奇效，还有助于培养学生的创新思维和探索求新的学习习惯。在整体思想的应用中，教师需要将其中的数或者量作为整体，借助整体思想分析问题，达到相应的解题效果，提高学生的解题速度与能力。

一、代入消元中应用整体思想

1.直接整体代入消元

在解一次方程组时，代入消元是一种有效的解题方法。我们可以根据题目的结构和形式，采取整体代入的方法，对方程组进行消元，完成方程组求解。

例题1：解方程组。在解题的过程中，教师应引导学生分析方程组中的系数，让学生通过观察和分析，得出其中的倍数关系。由此，将其中的方程式转化成 5y=21-3x，并将其代入另一个方程式中，得出 4x+3（21-3x）=53，根据方程式求解得出 x 的值。然后将 x 的值代入方程式中，求解出 y 的值。

在解答此题的过程中，我们要将方程式中相同的系数，用另外未知数代替的方式，然后将整体代入方程式中，完成解题的目的，同时保证运算的速度和解题的准确性。因此，在解题的过程中，教师应注重引导学生对方程组的观察和分析，让学生了解其中的系数关系，然后进行相应的方程求解。

2.通过变形之后整体代入

有一些一元方程组，需要对其中的方程式进行变形后才能整体代入。在变形之前，学生需要仔细观察和分析，根据方程组中两个方程式的关系进行相应的变形，再根据整体代入的思想完成方程求解。

例题2：。在解题的过程中，通过对两个方程式进行分析，学生发现可以将方程式 4x+5y=2 转变成 4x=2-5y，将 6x+7y=8 转变成 2x+4x+7y=8。之后将 4x 整体代入，通过化解得出 x=3-y，然后将其代入 4x+5y=2 中，通过求解得出方程组的解。

在解答一次方程组时，学生需要根据方程式之间的关系，对其进行转化，然后充分利用整体思想进行整体代入，完成方程组的解答。

二、加减消元中应用整体思想

加减消元法是方程组解答中的另一种消元方式，在加减消元的过程中，学生需要将未知数中的其中一个系数转变成相同系数，通过加减的方式进行消元，完成方程组的解答。在加减消元的过程中，学生需要对未知数的系数进行分析，灵活地转化系数，快速有效地完成方程求解。

1.直接整体加减消元

例题3：求解方程组。此方程组的数字都比较大，利用代入消元法和加减消元法都有一定的难度，并且计算比较复杂，很容易计算错误。通过分析未知数的系数，学生发现两个方程式中未知数的系数正好相互调换，所以可以采用整体相加减的方法，将系数绝对值变得最小，形成新的方程，再进行求解。在具体的解题过程中，学生将两个方程式相加得出 58x+58y=638，简化得出 x+y=11，将方程式相减得出16x-16y=-16，化简得 x-y=-1，将两个新方程式相加求解得出 x 的值;将两个新方程式相减求解得出 y 的值。

面对方程组中未知数的系数比较大时，学生需要观察方程组的特点，对方程组进行相应的转化，根据整体思想进行求解，避免盲目利用加减或者代入消元法，使解题变得更加复杂。

例题4：已知有A、B、C三种玩具，如果买A玩具5个、B玩具2个、C玩具4个一共需要花费80元钱;如果买A玩具3个、B玩具6个、C玩具4个一共需要花费144元。那么，如果买A、B、C三种玩具各一个，需要花费多少元？

在解答此题的过程中，学生需要根据题意列出三元一次方程组，但是题目中的条件只有两种等量关系，不可能通过一一求解的方式解题。因此，学生需要有效利用整体代入思想，完成方程组求解。根据题意，假设购买三种玩具分别需要 x、y、z 元，根据题目意思列出方程组，通过对方程组未知数的系数进行分析，可以将两个方程式相加，得出8x+8y+8z=224，求解得出 x+y+z=28。

2.通过变形之后进行整体加减

学生面对一元方程组的问题，有效利用整体思想，可以明确解题思路，快速完成题目解答。在实际的整体思想应用中，学生需要对方程组进行变形，然后借助整体加减完成解题;在变形时，需要对方程式进行观察和分析，通过巧妙的变形，有效地解答方程组。

例题5：已知方程组，求解 x+y 的值。在解答此题的过程中，学生可以通过代入法或者加减法求解出 x、y 的值，然后代入求解 x+y 的值。但是，教师可以让学生进行观察和分析，之后学生发现，方程式 2x+y=6 乘以2之后，与方程式 6x+8y=33 相加，正好可以得出 10x+10y=45，通过整体代入的方式，完成 x+y 值的求解。因此，在解题的过程中，面对一些复杂的方程组求解，学生需要对方程组进行整体分析，结合方程式的变形，借助整体思想进行加减，完成题目的解答。

例题6：已知 x、y 满足方程组，并且x+y=1，求解 m 的值。在解答此题的过程中，学生可以根据已知内容计算出 x 和 y 的值，然后將其代入方程式中，得出 m 的值。但是，如果对方程组进行仔细观察，学生可以发现未知数 x、y 系数之间的关系，可以将方程组的两个方程式相加，得出5x+5y=2m+1，再进行相应的转化，得到5（x+y）=2m+1，再对已知部分进行整体代入，求解出 m 的值。

在初中数学教学中，方程是重要的教学内容，一次方程组是学生学习过程的难点之一，也是学生最容易出错的知识点。整体思想是方程组解题的有效方式，学生利用整体思想实现方程组的消元，能有效简化方程组，明确方程组解题过程。在消元中主要有代入消元和加减消元两种方式，通过观察和分析方程组，学生可以选择相应的消元方式，并有效利用整体思想解答方程组，锻炼方程组解题能力。

【参考文献】

华昭琴.整体思想在解方程组问题中的应用[J].中学生数理化（七年级数学），2017（07）：128-129.