浅析三角换元法在高中数学解题中的巧用

黄蓉蓉

在高中数学教学中，很多教师还采用过去单一的教学模式而忽略对学生数学思维能力的培养。在新课程改革背景下，对学生数学思维能力的培养是当代数学核心素养的基本内容。教师应当改善以往传统单一的教学模式，不仅要让学生掌握最基本的数学知识，还应该在教学中提高学生的数学素养。我通过对三角换元法在高中数学解题中的巧用研究教学，从中渗透提升学生的数学思维能力。

一、三角换元法在教学中的意义

三角换元法是高中数学解题中常用的一种换元方法。换元法的实质是根据等量代换，通过构造元和设元来变换变量，最后将问题进行转化，使得问题简单化，易于处理。而三角换元法主要是将题目中的代数式与三角函数恒等式联系起来进行换元，代数式和三角进行转化后，题目就变得简单多了，学生的解题思路也变得清晰了。我通过三角换元法巧用在高中数学中一些经典题目进行分析，在教学中我特别重视学生的数学逻辑思维分析能力，使学生能在分析过程中形成数学解题能力和技巧。

二、三角换元法在高中数学解题中的巧用

1.三角换元法巧解函数值域与最值问题

例如，求函数y=x+1-x的值域。这一类题学生常规的解题思路是利用导数知识，求函数极值点和定义域两个端点对应的函数值，比较大小，最后得出函数值域。但这道题目的函数表达式有两个根号，学生会发现求导后形式比较复杂，解题比较繁琐，而且也容易出错，甚至有的学生直接放弃。所以我们可以引导学生考虑利用三角换元法去简化题目，化繁为简。通过观察函数表达式，可知“”里的值之和：x+（1-x）=1，与x无关，引导学生可将三角恒等式sin2θ+cos2θ=1联系起来。设x=sin2θ，θ∈0，π2，这样换元的依据就是函数本身要去根号还有两者值域的联系，所以要注意换元后θ的取值范围。最后将新元代入原函数容易求得。这样问题就转化为学生熟悉的求三角函数值域问题。

例1：求函数f（x）=3x+6+8-x的值域。

分析：函数定义域为x∈[-2，8]，观察函数表达式可改寫为：f（x）=3·x+2+8-x， 发现“”里的值之和：（x+2）+（8-x）=10，与x无关，结合三角恒等式：sin2θ+cos2θ=1（ 10sin2θ+10cos2θ=10）进行三角换元。可设x+2=10sin2θ8-x=10cos2θ，即x+2=10sinθ8-x=10cosθ，θ∈0，π2。因为原函数定义域为x∈-2，8，可知x+2，8-x∈0，10，所以这里等效变换时要令θ∈0，π2。此时将替换后的新元代入原函数可得f（x）=30sinθ+10cosθ=210sin（θ+π6）， 因为θ+π6∈π6，2π3，所以sin（θ+π6）∈12，32这样也就能得到原函数值域为[10，30]。

2.三角换元法巧证不等式

对于高中学生来说，对于给定条件的不等式证明问题是比较难理解也不知道从何下手，我们可以引导学生学会挖掘题目中隐含的条件，然后与三角恒等式联系起来。

例2：若x，y，z∈R+，z2=x2+y2，求证xn+ynz，n∈N）.

证明：设xz=sinα，yz=cosα，（0<α<π2）即x=zsinα，y=zcosα， （0<α<π2），则xn+yn=zn（sinnα+cosnα）.又因为0

∴xn+yn=zn（sinnα+cosnα）

四、结语

三角换元法在求函数值域与最值问题、解析几何问题、证明不等式的巧妙运用可以归纳其对应形式：如变量x，y可化为x2+y2=r2（r>0）形式时，则可令x=rcosθ，y=rsinθ化为三角问题。其中，三角换元法的难点是如何作出正确的变量代换，这就需要教师引导学生学会分析题目条件，尤其是题目中隐蔽的条件。在使用三角换元法时，特别也要让学生注意换元后θ的取值，要保证换元前后的等效性。

在高中数学中，换元法是解题中的一种经典方法，而三角换元法作为换元法的灵魂，在数学解题中应用既灵活又广泛。通过引导学生正确又灵活的运用三角换元法，可以不断地激发学生的创新思维能力。巧妙的运用三角换元法能有效的转化数学问题，使得数学难题变得简单、直观，对数学发展也有着重要的研究意义。

责任编辑 徐国坚