王成强
(成都师范学院数学学院,四川 成都 611130)
中国硕士研究生入学统一考试的数学试题(简称考研数学)主要涉及“微积分”“线性代数”“解析几何”“概率统计”等知识模块[1]。 这些知识模块彼此相关又各自具有鲜明的特色。 解析几何知识模块与微积分知识模块、线性代数知识模块紧密相关。考研数学中的解析几何知识考点的分数值占比很低,但因其与其他知识的紧密相关性,解析几何考研题具有特殊的研究价值。本文的研究对象是2018年考研数学(一) 第一题第2小题,其内容完整表述如下。
在问题(*)中,“相切”即是(切)平面与曲面 只交于一点[2-4]。 问题(*)具有一定的难度,它虽有教材背景,但其考查视角新颖,让人较难在短时间内探索出清晰的解题思路。 问题(*)的知识交汇性极强,可从几何、分析、线性代数等不同方向进行探索并获得解答。 鉴于以上两点,问题(*)的研究结论对进一步理解微积分理论、线性代数及二次曲面理论都有一定的启发性意义,本文旨在对问题(*)进行多解探究。
本文基于(解析)几何、微积分、线性代数等多种观点给出了2018年中国硕士研究生入学统一考试的数学试题第一题第2小题(问题(*))的5种解法。从解答过程中得到三点启示: 从书本知识中寻找解题思路,如解法2, 在教材中可获知, 曲面的切平面方程为利用题设条件“切平面过点列出另外两个方程,从这三个方程可解出切点的坐标及切平面方程;从所求的对象中寻找解题思路,如解法1,3,4(也见文献[6]),先设出切平面的方程,再利用未利用的题设条件解出切平面中的待定参数;从书本的课后拓展中寻找解题思路,如解法5。