高中数学定理的“学”与“教”

摘要：数学定理学习的路径有同化与顺应、归纳与演绎、上位学习与下位学习，水平可分为要素的认识、解析的认识、过程的认识、整体的认识四个层次。数学定理教学的原则有生成性原则、形式化原则、结构化原则，环节有定理的引入、证明、应用、反思。

关键词：数学定理学习路径学习水平教学原则教学环节

一、数学定理的界定

在一个理论体系中，按重要性递减的次序排列，依次是概念、原理、定理、方法、技巧。原理主要是从具体到抽象、从特殊到一般归纳出来的，接受实践的检验;定理则必须接受逻辑的检验，演绎的意味更浓。比如，“祖暅原理”在中学作为“原理”不需要证明，但是“圆锥的体积等于等底、等高的圆柱体积的三分之一”就必须证明——不是实验验证，而是逻辑论证。

在基础教育阶段，知识的“教育形态”与“学术形态”还是有明显区别的：“适度严谨”的原则使得教材中定理和原理的界限不是很明确。比如，现行高中教材中的立体几何部分，所有的判定定理都不要求证明了，这相当于把定理当作“原理”（等同于“公理”）来看了。放在更宏观的体系里，定理和原理也不是绝对的。“祖暅原理”在西方叫作“卡瓦列里原理”，可以用积分法严格推导。

所以，本文所谈的“定理”不再对原理和定理做严格区分。当然，“定理”也不仅仅是指教材中用粗体字标明的那些：教材只能选择最重要、最核心的作为定理，而更多没被选上的，就其真理性而言，不能说它们不是定理。

二、数学定理学习的路径

学生是学习的主体，教师必须了解学生的学习路径，才能开展教学。对于数学定理的学习，达成学习目标的途径或许不唯一，但是“意义建构”是其根本宗旨。

（一）同化与顺应

皮亚杰认为，掌握一个新知识有同化与顺应两种途径。同化就是把新知识纳入已有的认知体系，顺应则是改变已有的认知体系去契合新知识。皮亚杰最著名的两位后继者是布鲁纳和奥苏伯尔，前者全面继承了同化与顺应的理论，后者则只承认同化而不承认顺应。这二人虽然同为认知主义大师，但是布鲁纳走向了建构主义（一般认为，建构主义是对认知主义的发展），奥苏伯尔则用“先行组织者”理论做了完美的填补。此外，维果茨基提出的“最近发展区”理论指出，不论同化还是顺应，都发生在“最近发展区”。一般而言，同化比顺应更容易。

例如，《椭圆的几何性质》这节课的内容很简单，可选择的先行组织者很多。即使不用先行组织者，学生直接看书也能基本掌握这些内容——他们会自动调用头脑中的先行组织者。但是，教师可以将其处理成同化，也可以将其处理成顺应，不同的处理会使学习的过程有很大的区别。

【同化的路径】

直接观察椭圆图形，可以结合画图的过程感受拉线的不同位置（每一种拉线的夹角或长度分配都可以处于四个对称位置，如图1），或者结合圆压扁的过程（对称性不变），学生非常容易整体感觉到它是对称的，于是把椭圆纳入对称图形中。

当然，感觉是不可靠的，还需要证明。有几何和代数两条途径。以F1F2的中垂线为对称轴、中点为对称中心，结合椭圆的定义（生成的方法），可以证明椭圆上任意一点的对称点仍然在椭圆上。通过从（x，y）到（-x，y）、（x，-y）、（-x，-y）的变换，结合椭圆的标准方程，也可以证明椭圆的对称性。教学过程中，可以让学生感受这两种途径，进而做出自己的选择（大多数会选择代数途径）。这样，他们的数学体验是自由而真实的，解析几何的核心观念（用代数方法研究几何问题）也就变成了他们的自觉实践。

【顺应的路径】

证明的教学同上。

为什么说同化比顺应更容易呢？这里，从特殊点的对称到一般点的对称，到点集的对称，再到图形的对称，每一步推进都不是简单明了的，因为椭圆不能简单地理解为“点的集合”，而应该理解为“点集+结构”，“结构”并不能从一个个点或者全部的点（点集）中推演出来;而且这样做拉长了思维的过程，把本可以直觉感知的内容变成了逻辑推演，大大增加了学习的难度。某次省级优质课评比选的就是这个课题，其中多位选手采用了顺应的路径。就笔者的现场观察和课后了解，没有一堂课是顺利的，个别选手的讲解反而干扰了学生生成的流畅性——学生已经从图形中看出结果了，教师硬是反复地加以阻止。

（二）归纳与演绎

“先猜后证”是科学发现重要的途径之一。以演绎的形式呈现材料是专著撰写的模式，是最终成型的形态，不是生长过程的形态。著名教育家海纳特说过：“所有具有活力的思想都有一个缓慢的发展过程，应给学生足够的时间，而向学生预示结果或者解决方法都会阻碍学习研究。”按照弗赖登塔尔的理论，数学学习也是一个“再发现”的过程。教学中，让学生通过归纳的途径发现定理，更符合人的认知习惯，也更能在感情上拉近知识和人的距离。

例如，在“圆的标准方程”的基础上，教学“圆的一般方程”，可引导学生采取归纳的路径，也可引导学生采取演绎的路径。教学设计分别如下：

结合问题1和问题2，引入圆的一般方程，完成意义建构。

这里，归纳的路径可以概括为“此类方程可以表示圆（感知）—某些可以而某些不可以（疑问）—需要附加条件（新观念）—一般结论”，演绎的路径可以概括为“圆有这种方程（标准式）—可以化为这种方程（一般式）—反过来如何（疑问）—需要附加条件（新观念）—一般结论”。二者的最大区别在于“疑问”是怎么来的：从具体材料的观察与分析中感知矛盾，疑问是自然产生的，它来自直觉与情感;对一个确定性结论生发“反过来如何”，疑问是不自然的，它需要动用逻辑与理性。二者激发的学习动机强度则因人而异。一般而言，对于自己发现的矛盾、提出的问题，好奇心会促使学生一探究竟。“反之如何”如果是学生自己提出来的，激发的学习动機一定很强;如果是教师提出来的，就很难一言尽说了。

（三）上位学习与下位学习

基于对“先行组织者”理论的分析，奥苏伯尔提出了“上位学习”和“下位学习”的概念。上位学习也称总括学习，简单地说，是指用包容程度低的知识来组织一个包容程度更高的知识的学习，比如，先学习一次函数、二次函数、反比例函数，再学习“函数”。下位学习又称类属学习，是指用包容程度高的知识来组织一个包容程度较低的知识的学习，比如，先学习“函数”，再学习指数函数、对数函数、幂函数。

简单地说，上位学习是归纳出新知识，下位学习是演绎出新知识。在可行的情况下，下位学习比上位学习的效率更高。前提是，学生已经掌握了所需要的上位知识，并且到了能综合运用的程度。如果失去这个前提，下位学习即便不是不可能的，最起码也不会很顺畅（如果想通过下位学习促进对上位概念的理解，那是另一回事，它在本质上是上位学习）。

但是，归纳往往会产生新的知识，带来认识上的突破，故而从认知结构改变的角度看，是顺应;演绎则是在已有的框架内做等价变形或特殊指认，不产生新的知识，故而是同化。实际教学中，我们也可以不在同化与顺应上纠结，而用归纳与演绎或上位学习与下位学习来理解，这样能有比较客观的标准。

三、数学定理学习的水平

我们可以从正用、逆用、变用、综合、引申等方面考查学生定理学习的水平（掌握的层次）。具体可以将其分为以下四个层次：

（一）水平1：要素的认识

能回忆定理，知道条件是什么、结论是什么，但是仅停留在孤立、机械识别的层面上。这样的水平下，学生只能做标准化的题目，也就是条件和结论都是恰好的，而且表述都是清晰、明白的。在应用定理解决这样的题目时，学生会对照定理，逐个寻找条件，有时还要一个个地列出来（或圈出来）;在所有条件都具备后，学生知道结论成立了。他们不能在复杂的环境中找到稍微有些隐蔽的条件，也不能在简单的环境中找到变化的条件。总之，他们只能进行复述或进行再现式的应用。

（二）水平2：解析的认识

能在复杂的环境中寻找所需要的条件，能在找到的条件和结论之间建立起逻辑联系，但是，如果条件不是明确存在的，就不能发现它。简单地说，这样的水平下，学生只能直接发现逻辑关系，不能重构逻辑关系;只能进行一次逻辑推理，不能进行连续多次的逻辑推理。因此，经过指点，也能解决基本题，但是，背景稍微复杂一点，学生就茫然无助了。

例如，学生遇到不会做的题目，教师问：你看，条件是×××，你能知道什么？学生答：能知道×××。教师问：又能知道什么？……学生答：我会了。这样的思维没有跳跃性，每一步都能“明白”，但必须是在“看到”之后——在“看到”之前，没有这个想象能力，因而构造不出来。“一讲就懂，不讲不会”就是这个水平。

（三）水平3：过程的认识

能回顾定理的形成以及推导的大致过程，因此能运用变化的观点对待其中的条件和结论，能在背景中发现隐藏的条件或重构条件。解决基本题时，思维有流畅性;如果时间允许，也能解决中档题或者难题。

例如，结论alogab=b形式上很精细，容易记混。如果从形式上记忆，就算记住了，也很难熟练地运用，因为在用的时候，必须辨别清楚哪个是a、哪个是b，稍有偏差，就会出错。由此可知，这样的思维是不可能流畅的。而如果理解这个式子其实来源于对数的定义ab=Nb=logaN，是它的直接改写，那记起来就毫无问题，而且看起来非常自然。把一个思维过程浓缩起来，记忆量非常小，而其所包含的东西却非常多。

（四）水平4：整体的认识

能把定理的条件、结论、过程以及背景组织成一个整体，形成直觉。这时的定理已经成为一个完整的思维单元，相当于一个大的概念。我们知道，概念形成直觉之后，反应是不需要耗费时间的，就像我们认出一只大象和认出一只小猫都不费力气一样。这样的人，思维敏捷、深刻、灵活，能把某个思维过程当作一个模块，整体嵌入新的思维过程中，可以解决困难的问题，而且对整个解题过程有清晰的谋划。就像超大规模的集成电路，不是用一个个电容、电阻、晶体管焊接成的，而是直接用集成块组成新的更大规模的集成块，因而在组装时，工作量和难度都大为减少和降低。

四、数学定理教学的原则

（一）生成性原则

从学生的经验出发，用他们所熟悉的知识、方法得出新的规律，这样的体验是自然的、愉悦的。如果突然给学生一个结论要求他记住，他的情感态度一定是不痛快的。即使后来理解了，变得“痛快”了，也不是因为当初的“突然给”，而是因为后来的“理解”。定理不能用告知的方法教给学生，正确的教法是探究、发现，让学生自己生成（建构），这样才是符合人性和学理的。这时，学生获得的不仅是定理本身，还有数学活动经验和数学思维方法。

例如，教学“平面平行的性质定理”，教师提问：两个平面平行，会怎样？学生做了如下回答：（1）任意两点的距离相等（经讨论，调整为：一个平面内任意一点到另一个平面的距离相等）;（2）一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面;（3）一个平面内的直线和另一个平面内的直线平行（经讨论，发现是错误的）;（4）一个平面内的直线与其在另一个平面的射影平行（经讨论，发现这太特殊）;（5）两个平面都和第三个平面相交，所得两条交线平行;（6）两个平面和同一条直线垂直（经讨论，调整为：一个平面垂直于一条直线，则另一个平面也垂直于这条直线）;（7）一条直线如果和其中一个平面平行，则和另一个平面也平行（经讨论，加“平面外”条件）;（8）一个平面如果和其中一个平面平行，则和另一个平面也平行;（9）一个平面如果和其中一个平面垂直，则和另一个平面也垂直;（10）同一条斜线与这两个平面所成的角相等……最后，经协商，选择其中的（5）作为性质定理。这样的生成过程让学生知道：平面平行的性质定理只是“选择”的结果;其余的结论有些并非不正确，只是人为地要求在解題时不能直接使用（否则容易产生“所有要证明的命题都是对的，因而不需要证明”的诡辩）。

这里，特别要注意一种“伪探究、伪发现”的教学，体现为通过灌输思路和以提问的形式告知，让学生“生成”。灌输思路剥夺了学生思考的权利，以提问的形式告知其实是给出了不需要思考就能回答的问题。

例如，《任意角的三角函数》一课教学，一位教师设计了如下问题和追问：

问题1前面学习了角的概念的推广，推广后的角是如何定义的？它和初中所学的角有哪些不同？

问题2依据初中所学的锐角三角函数概念及角的推广，如果将锐角的顶点放在坐标原点，相邻的直角边放在x轴的正半轴上，那么直角三角形中的对边、斜边、邻边分别对应直角坐标系中的哪个量？用坐标系中的量又是怎样定义锐角三角函数的？

问题3在锐角三角函数的定义中，终边上取任意一点，得到的三角函数值都不变，如果取终边与单位圆的交点（在直角坐标系中，以坐标原点为圆心、以1为半径的圆叫单位圆），又该如何简化三角函数的定义？

问题4如果将角的终边绕原点旋转，当角的终边在第一象限时，它和锐角三角函数的定义吻合;当角是钝角时，角的对边、邻边不见了，说明用角的对边、邻边等关系定义三角函数有一定的局限性。那么用终边与单位圆交点的坐标能否行得通？行的话，又该如何定义？

问题5如果角的终边在第三象限、第四象限，在y轴正半轴、负半轴上，在x轴正半轴、负半轴上，其三角函数是否都可以用终边与单位圆交点的坐标定义？行的话，又是如何定义的？

追问1按照上述方法，如果角的终边相同，那么它的三角函数值相同吗？

追问2三角函数值的正负由哪些量决定？三角函数值随着角的变化又是如何变化的？

问题6任意三角函数应该如何定义？

这里的问题和追问一共8个，细致无遗，让学生毫无思考的空间，只能跟着“确认”。这样的提问其实等同于“直接告知”。

（二）形式化原则

首先需要说明的是，“数学的本质在于它的自由”，唯有自由的思考才有自由的創造，才有美好的情感体验。即使是伟大的数学家，在创造数学的时候，也把形式和逻辑的严谨放在次要的位置，而更重视内容和思想的创新（实在）和自由（开阔）——一切数学理论在提出的初期都非常粗糙，经过后期数学家的努力才甄于完美。作为“教育形态”的数学，其形式和逻辑更应该“适度严谨”，从而解放学生，真正实现“再发现”“再创造”——当然，正因为数学教育面对的是足够“完美”的理论，所以很容易把“严谨性”放到最主要的地位。

其次来看要不要记忆。基于学科核心素养、学科育人以及数学精神和思想等教育理念，我们很容易反对要求学生背定理、默公式的做法。但考虑到应试等现实，很多教师又一直在这么做。笔者的观点是，应该让学生在理解的基础上背定理、默公式。

要记住定理的原因有四。其一，数学是一种语言，一种精密的语言系统;语言必然有规范的词汇和语法，这就必须从范文中学习，定理就是数学中的范文。其二，学习定理是要应用的，没有对定理的明确记忆，就无法应用或者用起来不顺手;如果还需要临时去查看，一定是磕磕绊绊的。其三，能说出来、写下来的东西，才有利于记忆;如果只保留一个大致印象，只有在看见时才能认出来，不在眼前就想不起来，这样的记忆不会长久。其四，就算所谓的“素养”是“忘掉以后剩下的”，也得先记住，再忘掉;从没记住，便谈不上忘掉。

记住定理的方法是经历过程，基于理解。比如，学生常常把平面垂直的性质定理背成“两个平面垂直，垂直于交线的直线必垂直于另一个平面”。对照书本时，他们也接受“在一个平面内”这个条件，但认为这个条件是不需要说的。为什么？因为他们在头脑里构造了图，觉得自己说的就是那个图;在图上，这个条件是自然的，不需要再说。怎么办？可以让学生画图并写出符号表示。这样，他们就会发现这个条件需要说出来。再如，学生常常把等差数列的前n项和公式默成Sn=（a1+an）d2，把等比数列的前n项和公式默成Sn=n（a1+an）1-q。怎么办？最好连带记住公式的推导过程，起码要对推导过程有深刻的印象。

（三）结构化原则

大量的知识不能让人变得聪明，经过组织的知识才可以;散乱的、碎片化的知识储存基本没有用处，应用能力强的人都是知识结构良好的人——人们反对机械记忆的原因也在于此，组织化、结构化是一种更好的理解。

例如，立体几何里的线线、线面、面面关系定理分为“判定定理”和“性质定理”，学生学习时很容易在名称上混淆。那么，为什么要区别判定定理和性质定理呢？其实，分清“判定”和“性质”，对于这些定理的应用有莫大的好处，而对于知识的结构化则是必需的。立体几何研究的对象是点、线、面、体，依次是0维、1维、2维、3维。从低维到高维推进的就是判定定理，从高维到低维解析的就是性质定理。以平行关系为例，教学中，可以引导学生总结出如图2所示的知识结构。用这个结构图来理解“判定”和“性质”，就显得比较清晰了：每一种关系的判断都有3条途径，每一种关系的应用也是。再对照书本体会被选定的“判定定理”和“性质定理”，就会豁然开朗。

而且，还可以用这个图作为先行组织者来总结垂直关系，只要把其中的“平行”换成“垂直”就行了（不是指记忆上的，而是指理解上的）。这样，我们就不仅找到了“最近发展区”，简直是找到了“邻近可视区”——新的结论一眼就可以看出来。这时候的学习就不是“跳一跳，摘桃子”，而是“扭头一看，桃李满园”。

这里需要注意的是，判定定理的导出都比性质定理困难，教师要多安排相应的数学学习活动及体验，多调动学生既有的数学活动经验，遵循归纳的途径形成认知，尽量不用演绎的方式“发现”。

五、数学定理教学的环节

（一）定理的引入

定理的引入应当贴近学生的经验，包括生活经验和数学活动经验。

例如，教学“基本不等式”，通常有以下几种引入方式：

1.给出臂长不等的天平称物的情境，引导学生想到左右两次称量，根据力学原理算出质量为ab，介绍常见的简单平均a+b2的错误做法，提出比较两个平均数大小的问题，引出作差比较法……

这里，方式1—3使用的情境都比较复杂，不太贴近学生的经验，比较突兀，不够自然，只能起到引出比较a+b2与ab（或a2+b2与2ab）大小的作用，是典型的“用过就扔”的情境。方式1中，错误做法的给出尤其突兀（学生会觉得这个问题明明有解，为什么还要比较正确结果与错误结果的大小）。方式2和3的图形虽然比较直观，但是同样很突兀：为什么构图、为什么设量，只能硬讲。其实，方式2和3更适合用于定理发现后的“解释”和“验证”。

方式4抛弃了这些多余的情境，基于学生对（a-b）2≥0的熟悉，直接让学生比较a2+b2与2ab的大小，帮助学生回顾数学活动经验，简单明了、自然流畅（把数学成果本身作为一个现象对待，展开研究，也是自然的思路）。优秀学生一眼就能看出作差比较法，发现a2+b2与2ab的大小关系以及等号成立的条件。

（二）定理的证明

定理的证明应该选用最自然、最便捷的路径——如果不能兼顾，应该优先考虑前者。

在定理的意義清晰地建构起来后，一题多证可以从多个侧面审视、理解定理，让它伸出更多的触角，为建立知识结构做好铺垫。但是，多种证明应该尽量来自学生，而不是教师。也就是说，应该让学生的思维之泉自然流淌。如果学生认为“可以这样看待定理，也可以这样看待，还可以……”，那么这些方法就都可以也应该给出，不论多少都不算“过多”。而教师刻意安排的、需要花大力气讲解的或技巧性很强的证明，则应该避免。思维和方法的训练不是一节课的事情，而需要长期的坚持;它是润物无声的细雨，而不是摧枯拉朽的海啸。比如，在一次教研活动中，一位教师执教《基本不等式》第一课时，用了3种以上的方法证明基本不等式（详细板书3种，还有口头叙述的），而且用了学生很难理解的分析法。这种做法是很不可取的。

（三）定理的应用

用定理来解决问题，不论生活实际中的还是纯粹数学上的问题，都是定理的应用。定理的应用有正用、逆用、变用，每一种应用都应该让学生见识一下。这样有助于理解，也有助于记忆。

基于这样的认识，教学中的第一个例题应该是再现式的，不能太难：只要能够反映定理的本质，越简单越好。如果教师能随手提出一个（或多个），学生也能凭直观口答，那就很好。比如，教学“基本不等式”的第一个例题，“a+1a≥2（a>0）”就比“a+1a-2≥4（a>2）”好。

教学中的第二个以及以后的多个例题，都应该是变式，但是同样不能太烦琐，不能有太多无关因素的干扰。中国数学教育有“变式教学”的传统。变式教学就是让学生在不同的情境、不同的表征下识别定理应用的模式，体会（归纳）不变的规律。设计变式，需要考虑“符合定理条件时能用，不符合定理条件时是否能用？”“如果能用，需要怎么处理？”等问题。比如，用基本不等式求最值，如果“一正二定三相等”中的“等号”不能取到，应该怎么办？这就需要掌握通常说的“第二手段”。

（四）定理的反思

在应用的过程中必然有对定理的反思，但那是无意的、顺带的。此处所说的反思，是在巩固后主动的、专门的反思，包括该定理在学科体系中的地位，逆命题（偏逆命题）是否成立，降低条件之后如何，结论是否可以加强等。这已经进入元认知的领域，是在做科学研究了。

参考文献：

[1] 孙四周.概念的分层和教学——现象学视域下[J].教育研究与评论，2019（3）.