分形集上的双边中点不等式

时统业

(海军指挥学院， 江苏 南京 211800)

0 引言

引理1[13]设f、g∈Dα(I)，则有(f(x)+g(x))(α)=f(α)(x)+g(α)(x)；(f(x)g(x))(α)=f(α)(x)g(x)+f(x)g(α)(x)；(cf(x))(α)=cf(α)(x)，其中c是常数；(f(g(x)))(α)=f(α)(g(x))(g′(x))α.

闭区间上的局部分数阶连续函数是局部分数阶可积的. 局部分数阶定积分有与黎曼定积分类似的性质，如线性性质、区间可加性、比较性质、绝对不等式、牛顿-莱布尼茨公式、换元法、分部积分法等[14].

定义1[3]设区间I⊆R，函数f:I→Rα，若对任意u、v∈I和任意λ∈[0，1]，有

f(λu+(1-λ)v)≤λαf(u)+(1-λ)αf(v)，

则称f是I上的广义凸函数.

引理3[3]设f∈Dα(I)，则下面条件等价：

引理4[3]设f∈D2α(a,b)，则f是(a,b)上的广义凸函数当且仅当对任意x∈(a,b)有f(2α)(x)≥0α.

引理6设n为自然数，则有(xnα)(α)=nαΓ(1+α)x(n-1)α.

证明当n=1时结论显然成立. 假设n=k时结论成立，即(xkα)(α)=kαΓ(1+α)x(k-1)α，则根据引理1有

(x(k+1)α)(α)=(xkαxα)(α)=(xkα)(α)xα+xkα(xα)(α)=kαΓ(1+α)x(k-1)αxα+xkαΓ(1+α)=(k+1)αΓ(1+α)xkα.

即n=k+1时结论也成立，引理得证.

证明由引理6和引理2即可得证.

文[16]建立了恒等式

(1)

其中：f(x)在[a，b]上具有二阶导数，且f″(x)在[a，b]上可积.

利用恒等式(1)，文[16]给出中点积分公式的估计：

(2)

其中f是[a，b]上的二阶可微函数，存在常数k和K使得k≤f″≤K.

文[17]利用恒等式(1)给出中点积分公式的另一个估计：

(3)

其中:f：[a，b]→R二次可微，对任意x∈[a，b]有k≤f″(x)≤K. 文[17]还举例说明了式(2)与式(3)不分强弱.

引理8设区间I⊆R，I°是I的内部，f:I°→Rα，a、b∈I°，a

(4)

证明使用两次局部分数阶分部积分法(引理2)得

(5)

类似可得

(6)

将式(5)与式(6)相加并整理，则式(4)得证.

本文受到文[18]所用方法的启发，将给出分形集Rα上关于中点积分公式的新的双边不等式， 加强了不等式(2)和(3). 为证明本文主要结果，我们还需要下面的引理. 为方便起见，记

证明利用引理2，得

(7)

故由式(7)及k≤f(2α)≤K，有

则引理9得证.

1 主要结果

定理1设f∈D2α[a,b]，f(2α)∈Cα[a,b]，且存在常数k、K∈Rα,k

(8)

证明利用局部分数阶分部积分法(引理2)得

(9)

由引理8和式(9)有

(11)

利用引理7得

(12)

(13)

(14)

综合式(11)～式(14)得

于是有

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

综合式(17)和式(21)，则式(8)的右边两个不等式得证.

当k≤f(2α)≤K时，有-K≤(-f)(2α)≤-k. 对函数-f应用已证结论，则式(8)的左边两个不等式得证.

推论1设f：[a，b]→R二次可微，f″在[a，b]上可积，且存在常数k和K，k

定理2设f∈D2α[a,b]，f(2α)∈Cα[a,b]，且存在常数k、K∈Rα,k

(22)

于是有

(23)

(24)

推论2设f：[a，b]→R二次可微，f″在[a，b]上可积，且存在常数k和K，k

(25)

证明在定理2中取α=1即可得证.

注2式(25)是式(2)和式(3)的加强.