频控阵阵列模型及参数分析*

王 博，谢军伟，张 晶，葛佳昂

（1.空军工程大学防空反导学院，西安 710051；2.陕西交通职业技术学院，西安 710018）

0 引言

相控阵雷达通过移相器可实现波束控制更为灵活同时也更为高效的电扫描［1-2］，但相控阵的波束指向不存在距离维的目标分辨能力。2006 年，Antonik 在雷达会议上提出频控阵（Frequency Diverse Array，FDA）的概念［3-4］。频控阵通过在阵元间引入固定频差，在无需移相器的情况下可形成距离-角度相关的时变波束指向，作为一种新体制的雷达具有广阔的应用价值，得到了广泛和持续的研究［5-7］。本文系统梳理了频控阵发射、发射-接收方向图，以及非时变方向图特性，此外对影响FDA 雷达性能的波束宽度和模糊函数参数展开了理论推导和仿真分析。

1 FDA 模型

图1 所示为频控阵的基本结构［8］。

图1 频控阵基本结构

假设载波频率为f0，则第n 个阵元辐射信号的频率为：

窄带条件下，各阵元发射信号可表示为：

2 FDA 方向图

2.1 发射方向图

当t=0 s 且θ=0°时，可将阵列因子简化为：

由此可知，频控阵的3-dB 距离分辨率可表示为：

频控阵通过在阵元间引入固定频差，在不需要移相器的情况下可以实现电扫描。实际上，这相当于移相器相移量为0，各阵元等幅同向馈电的情况。实际中，需要在发射端依次接入相移量分别为的移相器，通过对相移量φ 的改变，实现对频控阵波束指向的控制。与相控阵相移量等于阵元间距离目标的波程差不同，频控阵的相移量是时间、角度以及距离的函数。接入移相器的阵列因子表示如下：

2.1.1 时间-距离-角度三维相关性［11］

与相控阵波束指向只具有角度相关性不同，频控阵波束图是时间、角度及距离的函数。图2（a）～（c）仿真了FDA 阵列发射方向图的距离-角度-时间相关特性。由图2 可知FDA 方向图具有距离角度二维相关性，这一特性在使频控阵具有距离相关性干扰抑制能力的同时，其方向图所固有的距离-角度耦合也会给频控阵带来新的波束控制问题。针对这一问题，可通过在阵列中引入非线性频差增量以及子阵结构的划分方式来实现FDA 方向图的解耦。由图2（a）～（c）可知，在一个脉冲周期内，照射在目标位置处的波束会随着时间的变化而发生角度和距离上的偏移，因此，经二次反射回到达雷达接收机的回波能量较低，影响输出信干噪比。这就需要在实现方向图解耦的基础上，对非时变FDA 波束形成技术展开研究。

2.1.2 时间、距离和角度的周期性［12］

由式（9）可得频控阵时间、距离角度周期性计算公式：

图2 FDA 发射方向图特性

由式（14）～式（16）可知，当距离R 和角度θ 固定时，方向图的最小周期为1/Δf；当时间t 和角度θ固定时，方向图的最小周期为c/Δf。图2（d）～（f）分别仿真了频控阵发射方向图距离维与偏置频率的关系，以及发射方向图时间维与偏置频率的关系。d/=0.5，则当距离和时间分别固定在10 km，100 us时，波束关于sinθ 的周期为2，因此，在一个扫描周期内，θ 的取值为［0°，180°］，如图2（f）所示为频控阵扫描关于角度的特性。

2.2 发射-接收双程图

文献中FDA 方向图特性的研究大多基于发射端，较少对接收方向图展开分析。采用如图1 所示的阵列作为收发共型阵，信号在发射端经赋相或加权后向空间辐射，经目标二次反射回接收阵列，在接收端通过采用不同的滤波方式可以构成相应的发射-接收机结构，并最终得到接收端的方向图，而接收方向图实际上就是发射-接收方向图［13］。文献［7］中提出了双程方向图的概念，文中所谓的双程方向图实际上是对于发射方向图及接收方向图所做的纯数值运算。当发射方向图、发射-接收方向图在目标点位置不聚焦的情况下，通过方向图数学上的叠加效果对比，选择较为理想的赋相方式。对式（3）中的发射信号加权使其到达远场目标

经目标二次反射后被接收阵列阵元m 接收的信号形式为：

上式中，阵元m 接收的回波信号包含着发射阵列中所有阵元辐射的回波能量。通过在接收阵元之后接入不同的滤波器，可以将FDA 雷达接收信号的处理分为3 种不同的机制：第1 种处理机制称为带限相干处理，实际上相当于基于梳状滤波器的FDA（FDA based on Frequency Filter，FDA-BFF）接收机结构。通过窄带滤波器在第m 通道中只滤出载频为fm的信号：

第2 种处理机制称为全波段相干处理，这种处理机制通过对信号的重排得到的N×N 维矩阵，能够同时对发射-接收方向图发射端赋相、接收端加权，相当于多输入多输出FDA（Frequency Diverse Array Based on Multiple-Input Multiple-Output，FDA-MIMO）接收机结构。在每一个接收通道中通过N 个窄带滤波器对接收到的所有信号进行分离，对分离后的回波数据按接收通道进行重排，得到数据大小为N×N 的信号，对重排后的信号进行普通波束扫描：

第3 种处理机制称为全波段伪相干处理，采用带通滤波器，在每一个接收通道接收所有发射通道的发射信号，对接收信号进行普通波束扫描：

全波段伪相干处理机制下的发射- 接收方向图存在主瓣分裂的问题，在实际中的应用价值较低。全波段伪相干处理实际上是频控阵-相控阵（FDA-PRA）接收机结构，通过对发射端赋相使得波束指向目标，但对接收端的加权无法使得发射-接收方向图在目标点有效聚焦。图3 和图4 为带限相干处理、全波段相干处理机制下的接收方向图。部分仿真参数如表1 所示，频偏为4.5 kHz，两种机制下的方向图在期望位置处都形成了大增益。

表1 FDA 雷达仿真参数

图3 带限相干处理机制发射接收方向图

图4 全波段相干处理机制发射接收方向图

3 FDA 非时变方向图

上述分析都是基于FDA 静态方向图展开的，在实际的信号处理过程中，频控阵方向图的时变特性会使主波束指向随时间发生偏移。这就需要推导出一个时变的频偏增量表达式，从而期望在脉冲周期内形成非时变的波束照射目标，最终改善因波束照射时间不足所导致的回波能量低的问题，以利于后续的信号处理过程［14］。

上述分析是基于阵元间采用线性增量- 时变频偏的方式进行的，能够在空间中形成非时变的波束指向，获得回波能量的提高，但没能消除FDA 方向图中固有的距离-角度耦合，存在易于被干扰的问题。文献［15-16］提出的对数频偏FDA（log-FDA）阵列结构能够消除方向图耦合，但其波束在角度维上有较长的拖尾，此外也不具备非时变的波束指向。基本的FDA 阵列阵元间采用均匀线性固定频偏，因其与阵元间距的线性递增同步，而导致发射方向图中存在着距离-角度耦合。基于非线性频偏的FDA 由于消除了这种同步，从而能够实现方向图解耦，采用对数、立方函数、三角函数以及倒数等非线性增量形式的FDA 都具有一定的方向图距离-角度解耦效能。

4 FDA 雷达波束宽度

在雷达参数中，波束宽度会对方向图增益的大小产生直接影响，进而影响阵列的扫描范围、阵列孔径等参数的限制条件。当波束指向阵列法线方向时，与相控阵波束宽度θ0.5-PRA仅与阵元数、阵列孔径及波长相关不同，频控阵的波束宽度还与频偏、时间及目标距离有关。由式（9）得归一化的方向性函数：

5 FDA 雷达模糊函数

设图1 中阵元n 的发射信号为：

5.1 带限相干处理FDA 雷达模糊函数

则经带限相干处理的FDA 雷达模糊函数定义如下：

最终，经带限相干处理的FDA 雷达模糊函数表示如下：

5.2 FDA-MIMO 雷达模糊函数

根据式（20）和式（30）得经带限相干处理的M 组复合信号分别经过匹配滤波器的输出后叠加可得：

则经全波段相干处理的FDA 雷达亦即FDA-MIMO 雷达的模糊函数定义如下：

经过类似化简，最终得FDA-MIMO 雷达模糊函数表示如下：

6 仿真验证

仿真1：正弦频偏增量FDA 接收方向图分析

图5 各结构发射接收双程方向图

仿真2：FDA 非时变方向图特性分析

由图6（a）～（b）可知，固定距离参数时，仅在目标角度上可以形成主波束照射；固定角度参数时，指向目标距离位置的波束不会随时间偏移。图6（c）～（h）仿真了不同时刻下的方向图距离-角度关系，不同时刻下发射能量始终照射在目标位置，能够有效增强回波能量，但是采用基于线性增量方式的目标参数相关-时变频偏设置，方向图中仍然会存在着距离-角度耦合，存在易于被干扰的问题。

图6 FDA 非时变方向图特性

仿真3：FDA 波束宽度变化特性

FDA 波束宽度会随着扫描角的增大而展宽，进而导致增益的下降。除了角度的影响之外，距离、频偏以及时间也会对波束宽度产生影响。考虑时间变化的情况，在上述对线性增量-时变频偏的方向图分析中，图中仿真了的方向图随时间的变化，随着时刻取值的增大，波束会明显展宽。

图7 频偏和距离对基本FDA 波束宽度的影响

取f0=10 GHz，阵元间距d=c0/（2f0）。图7 仿真分析了固定t=0 s，频偏和距离对基本FDA 波束宽度的影响。图7（a）为t=0 s，Δf=3 kHz 时的FDA 方向图，由图中可知在0 km～50 km 的距离内，FDA 的波束随着距离的增加而展宽。图中50 km～100 km 距离上的波束实际上是由于FDA 方向图的周期特性产生的，由式（14）及仿真条件知本例中FDA 方向图在距离上的重复周期为100 km。图7（b）为t=0 s，Δf=6 kHz 时的FDA 方向图，方向图距离维的周期减小为图7（a）的一半，在0 km～25 km 的距离内，FDA的波束宽度随着距离的增加而明显增加。图8 仿真了目标位于（50 km，30°），固定t=0 s，Δf 对FDA 波束宽度的影响。随着频偏的增加，在方向图的一个距离周期内，波束宽度随距离增加的展宽变化逐渐减缓。

图8 频偏对FDA 波束宽度的影响

7 结论

频控阵雷达能够产生距离-角度-时间相关波束，在雷达目标的距离-方位角联合估计、射频隐身以及前视探测与成像等领域都有广阔的应用前景。本文重点对频控阵阵列模型及方向图特性进行分析，此外对影响频控阵雷达性能的重要参数进行了推导分析。