基于微分几何方法的高维混沌系统间的复合同步控制

李 钢， 唐 陶， 郭秀月， 刘 卓， 李 莹

(辽宁师范大学 物理与电子技术学院，辽宁 大连 116029)

近年来，基于微分几何方法的精确反馈线性化成为混沌控制与同步领域中的热点[1-3]，在混沌同步控制中获得了广泛的应用，但随着系统维数的增加，由于高维混沌系统内部的非线性的复杂性，单入单出的微分几何方法呈现出了固有的局限性.微分几何方法中的部分反馈线性化，提供了一个灵活的方式，目前以单入单出的控制方式[4-7]为多，多入多出的控制方式[8]尚很少见.与单入单出的控制方式不同，多入多出的控制方式在控制器的设计上具有较大的灵活性，并且可以融合其他镇定方法[9-11]而构成复合控制，可望在高维混沌同步控制中获得广泛的应用.

在多入多出仿射型高维混沌系统中，根据系统的非线性的特征可以通过选择适当的输出函数来获得所需的小于系统维数的适当相对阶，将误差动力学系统变换为线性子系统与零动态子系统.同时，使输入控制成为零动态子系统实际上的内部控制，并在零动态子系统中得以独立设计.为了获得较好的鲁棒性，本文在零动态子系统中采用了滑模控制[12-13]方法，选择适当的滑模面并依据Lyapunov稳定性原理构造了滑模控制器，使得零动态子系统能够在有限的时间内运动至滑模面上后迅速收敛至0.最后，结合外环控制使误差动力学系统趋近于零点，从而实现了高维混沌系统间的完全同步.

1 同步控制原理

考虑一个如下的仿射型MIMO非线性系统：

(1)

其中，x为n维非线性动力学系统的状态变量，y为输出函数，g0(x)是输入函数，u0是输入控制.根据m入m出定义，系统总相对阶r=r1+r2+…+rm，当r小于系统维数n时，可将系统(1)等效变换如下矩阵形式：

(2)

令

(3)

根据零输出问题定义有

B(0,η)+A(0,η)u=0,

(4)

(5)

式(5)被称为零动态子系统，仍然具有非线性特征，通过适当选择输出与输入函数使得u0中的部分控制进入到零动态子系统中，将这一部分控制记为u′，将未进入零动态子系统的控制记为u.则式(1)改写为

(6)

根据式(4)可得复合控制输入

u=-A-1(0,η,u′)B(0,ζ,u′)+A-1(0,ζ,u′)v.

(7)

(8)

选用比例积分滑模面

(9)

(10)

(11)

(12)

2 同结构Lorenz型高维混沌间的完全同步

以新七维Lorenz型混沌系统为例，其同结构的驱动响应系统动力学方程描述如下：

(13)

定义误差ei(t)=yi(t)-xi(t), (i=1,2,3,4,5,6,7)，可得到如下误差动力学系统：

(14)

输出函数选择为[y1,y2,y3]T=[h1(e),h2(e),h3(e)]T=[e4,e5,e6]T，根据相对阶定义有

r=r1+r2+r3=3

(15)

据式(9)和式(11)选取滑模面与相应的滑模控制器:

(16)

其中,参数q,κ3根据式(12)所需条件选择，将外环控制代入式(7)得

(17)

以Matlab软件为基础进行数值仿真.根据线性最优二次控制理论，参数选择为c0=3.146,c1=12.413,c2=1.42，κ3=0.2，q=2，仿真步长取0.001.驱动系统状态变量的初值随机选择为(x1(0),x2(0),x3(0),x4(0),x5(0),x6(0),x7(0))=[2,-1,2,-1,2,1,1]，响应系统初值随机选择为(y1(0),y2(0),y3(0),y4(0),y5(0),y6(0),y7(0))=[0.1,2,4,-1,-4,3,2]，如图1所示，2个高维混沌系统实现的同步具有较好的渐进稳态特性和较强的鲁棒性，验证了控制方案的有效性.

图1 2个七维混沌系统的误差变量随时间的演化

3 结 论

基于多入多出的微分几何的零动态方法在高维混沌同步控制中的应用，能够充分利用系统的非线性特征构造灵活有效的外部控制，不仅使所构造的零动态子系统的控制得以独立设计，而且零动态子系统的收敛可以融合各种可能的传统方法，有效地解决了高维混沌系统的复杂控制问题.由于对由原混沌系统的误差动力学系统的控制实际上变成了通过系统相对阶的调整所构造的零动态子系统的控制，不仅降低了控制器设计的难度，而且增强了控制的鲁棒性.该方法具有设计上的一般性，可被推广到高维混沌系统间其他类型的同步控制中.