对2019年全国高考新课标Ⅲ卷数学第18题的探究

漾濞县第一中学 秦庆雄 范花妹 张 钟

2019 年全国高考新课标Ⅲ卷数学第18 题是一道中等难度的试题.通过对本题的进一步探讨，教师不仅可以强化学生对数学基础知识的理解和掌握，而且可以发展学生的思维能力，提高学生的数学核心素养.

例题（2019年全国高考新课标Ⅲ卷第18题）：△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知=bsinA.

（1）求B；

（2）若△ABC 是锐角三角形，且c=1，求△ABC 面积的取值范围.

一、解法赏析

解析：

（2）这一问的解法较多，这里提供以下三种，以供读者参考.

评注：解法1借助正弦定理，把三角形的面积这个目标函数转化为角的形式，然后再借助函数的性质来解决，推理严谨、踏实可靠，是解决这类问题的通性通法，但运算量较大，对学生的运算能力要求较高.

解法2（几何法）：由题设及（1）可知，△ABC 的边c=1 为定长，角B=为定值，由此可以构造出右图，满足△ABC 是锐角三角形的点C 在线段EF 上（端点除外）.当点C 在E 处时，.又∵c=1，∴.∴S△ABC=.当点C 在F 处时.又∵c=1，∴b=.∴S△ABC=.∵点C 在线段EF 上（端点除外），∴△ABC 面积的取值范围是.

评注：解法2结合问题特征，构造出几何图形来求△ABC面积的取值范围，直观迅速，但对数形结合、几何知识和逻辑推理等方面有一定的要求.

评注：解法3将动态问题进行静态化处理，运算量小且准确率高，但过程不够严谨，只能用于猜测或验证所求答案的正确性.极限法别有洞天，是解答选择题和填空题的最佳解法，常给人一种举重若轻的神奇效果.

解题不反思，无异于“进宝山而空返”.问题解决后，我们切不可万事大吉，真正的功夫还在于解题之后.解完题后，教师还要善于引导学生总结解题的策略和方法，使之成为今后的一种解题模式.

二、推广探究

将第（2）问中已知的角和边都一般化，可以得到结论1：

结论1：在锐角△ABC 中，已知∠B 和c，则△ABC 面积的取值范围是（）.

将结论1 中的c 换成b，可以得到结论2：

结论2：在锐角△ABC 中，已知∠B 和b，则△ABC 面积的取值范围是（].（读者可自行尝试证明）

三、教学启示

解三角形一直有“无难题”之说，但从今年的试题来看，这类试题有加大难度的趋势，应该引起教师和学生的注意.解法1 思路比较自然，学生只要掌握课本上的基础知识和考试说明中要求的基本思想方法就能顺利求解此题，并不需要什么特殊技巧.然而，还是有相当一部分学生在解答此题时暴露出基础知识薄弱、解题目标意识不强、转化意识淡薄、公式运用僵化、运算能力欠佳等问题.在解答此题的过程中，数学的基础知识、基本思想方法、基本技能、基本活动经验的重要性再一次得到诠释，通性通法的意识和掌握程度必须提高.具体说来，我们在今后的教学中应注意以下几个问题.

1.夯实基础、回归教材.

在新课教学中，教师要注重基础知识、基本概念的形成过程，加强过程教学，让学生主动参与到新知识、新概念的建构过程中来，尽可能让学生亲自探索、发现新知.在解题过程中，教师要养成“回到基本概念中去”的解题习惯，从而引领学生夯实基础，熟练运用课本知识解决“基础题”.在复习阶段，回归教材既是“以不变应万变”的复习策略，又是提高备考效率的有效途径.教师要站在系统与结构的宽度、思想与方法的深度、联系与区别的高度去把握课本中的概念、定义、定理、公式、例题、习题等，通过延伸拓展、变式训练等策略有效地提高复习的效率.

2.立足通性通法.

在平时复习时，教师要坚持“题不在多，理解则灵”的理念，要重视对各章节知识中通性通法的复习和掌握，要切实淡化特殊技巧.重视通性通法的教学，不仅能不断地将学生的思维引向数学的基本概念和基本思想，使学生养成良好的思考习惯，而且能让学生以“不变”的思考方法应对“万变”的数学题目.只有这样，我们才能摆脱题海，达到事半功倍的效果.

3.培养学生的数学运算能力.

对于解法1，大部分学生都望而却步，其主要原因是数学运算不过关.因此，在平时的教学中，教师应注重对学生数学运算能力的培养.数学运算主要表现为：理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、求得运算结果等，通过数学运算促进数学思维能力的发展，学生可以形成规范化思考问题的习惯.

4.培养学生的转化意识和综合运用知识的能力.

在解题教学中，教师要善于引导学生真正参与到思维活动中来，让学生学习如何读题、分析题意，如何进行多元联系、多角度转化，如何研究已知与未知的关系，获得解题思路，如何实施并适时调整解题策略等.每解完一题，教师都要引导学生学会总结和反思，力求让学生对数学概念和解题规律的理解有所加深，在转化的意识和方法上有所加强，以期达到做一题、连一片、熟一类的教学效果，让学生在解题中学会解题，从而真正提高课堂教学的效率.这样定能为学生谋取更长远的利益，真正发挥数学教学的育人功能，同时也可以提升教师自身的数学素养.