概率论中常用数字特征的简单求法

沙婵娟

[摘           要]  分析了在求解随机变量数字特征中的常见问题，通过教学中的实例，了解并且归纳了随机变量数字特征的实质，计算中绕开了繁杂的定义求解过程，巧妙而简单地得到了相应的数字特征值。同时把求解方法进行了分类，对该内容的教授和学习有所启发。

[关    键   词]  随机变量;期望;方差;相关系数

[中图分类号]  O211.5                [文献标志码]  A             [文章编号]  2096-0603（2020）45-0162-02

一、引言

概率論课程是高等理工科院校最主要的数学基础课之一[1]，其为后续的随机课程做了相当大的铺垫，同时也是硕士研究生入学的数学考试必考课程之一。在本门课程中，对于各种各样的随机变量，如果知道了它们的分布函数，就相当于掌握了它们的全部变化规律，但要得到一个随机变量的分布函数并不容易，因此，在实际问题中我们常常简单计算它的某个需要的数字特征即可。例如，比较两人射击水平高低，只需先比较其平均射击环数，即求期望值;如果环数相当，可以再比较着点的集中和分散程度，即做方差比较。在这种情况下，就不需要精确地计算随机变量的分布函数或者概率密度函数，而只需要计算其数学期望和方差。

对于一些有特点的随机变量或者随机变量的函数来说，由于它们自身的特点，我们没有必要用定义去处理，而只需要了解数字特征的实质，分析变量的特点，利用一些技巧便可以很快得到我们需要的数字特征。

二、随机变量数字特征分析

概率论中，我们常求解的数字特征包括：数学期望、方差、协方差、相关系数，以及它们的扩展随机变量矩的概念。下面将结合教学过程中所举出的实例，充分了解几类常用数字特征的实质，分析各个要求求解的随机变量的特点，简单而巧妙地得到我们想要的结果，并将其方法进行分类。

（一）数学期望的简单计算

数学期望是随机变量数字特征中最为重要的一个，因为本质上来看，随机变量的其他数字特征无非就是随机变量的特定函数的数学期望，因此对它的简化是最为重要的。数学期望E（X）刻画出了随机变量集中取值的位置，直观地看就是随机变量X的平均值。基于这个实质，为了避免定义的繁杂计算，我们分几类给出求期望的巧妙方法。

（1）利用对称性计算期望

从这个题目中我们可以看到，实际上对于两个随机变量而言，只要能找到它们的线性关系，就直接得到了相关系数。

三、综述

所谓特征，是希望用少量的信息去近似地分辨一个信息量大的对象。随机变量的数字特征，即在分布类型已知的情形下，一旦知道数字特征，分布就能确定。所以，概率论的后续课程数理统计中绝大部分内容是在对分布类型及其参数进行近似估算和分析研究。而在本文中，我们给出了求解随机变量数字特征的简单方法，总结起来分为以下几种：（1）利用随机变量的对称性;（2）利用已有的常用分布的数字特征，如二项分布，正态分布等; （3）利用数字特征的实质，如期望是平均值，方差是聚集程度，相关系数是线性关系等;（4）分解变量，由繁变简。

其中这些求解过程是有必要进行仔细推敲和梳理的。当然，想要简单得到一个随机变量的数字特征，除了上述方法以外，还有很多其他的方法，如利用密度曲线的对称性、利用特殊级数的求解[3]、逐项求微分及特殊积分法等，因此我们在学习的过程中需要灵活应用。概率论这门课是高等数学教育中与生产实际相结合最密切的一门课，几乎是所有后续工程专业课程的基础，而随机变量的数字特征是了解随机变量、掌握其分布的重要讯息，因此我们需要深刻理解、简单得到。

总之，在大学本科概率论随机变量数字特征的教学过程中， 我们应该把握住概念的本质内涵，辨别一些容易混淆并且难以理解的概念，理解概念的本质后举一反三，总结求解的各种方法，相关的概念及内容就能轻松掌握了。最后，在近几年的考研试题中多次出现此类考题，再次说明了它的重要性。

参考文献：

[1]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]谢兴武，李宏伟.概率统计释难解疑[M].北京：科学出版社，2007.

[3]王湘君，吴莺，王辉.随机变量方差为零充要条件的应用[J].高等数学研究，2014（3）：16-17.

◎编辑 李 争