课，在“化归”中行走

徐曦霞

【摘要】课程教材研究所王永春教授指出：数学思想方法是数学的生命和灵魂，是数学知识的精髓。“比赛场次”是教材中具体落实“从简单情形入手寻找规律”解决问题策略的载体，借助它可以积累解决问题的学习经验，再与前后的学习对比沟通，形成较完善的“化归”的数学思想方法。

【关键词】化归；简单情形；基本活动经验

六年级的“比赛场次”一课主要围绕“化归”数学思想，具体化落实在每一个教学环节之中，能使学生深切体验数学思想方法的价值，能使学生在日后的数学学习中自觉运用。教师力求将“化归”数学思想与知识教学结合起来，渗透在课堂教学中，使课堂流露出浓浓的数学味。

案例片段1：新知探究部分

一、借助教材回顾画图与列表的方法

如果有10位同学参加比赛，每两名同学之间要进行一场比赛，一共要比几场？三年级我们学过“4个队伍进行比赛需要比几场”，认识了画图法和列表法。（回顾方法）

二、利用列表或画图的方式寻找规律

1.学生独立思考、探索，教师巡视；

2.小组交流；

3.全班汇报。

4.方法間的联系：你们能在其他方法中也找到这个规律吗？

5.计算结果：10人进行乒乓球比赛，需要进行几场？列式计算。

归纳方法：复杂的问题可以从简单的情形开始寻找规律

研课思考：上课时，多数学生无法按照设计意图，从简单情形入手去思考问题。都是根据教师给定的作业单，认为填满就完成任务，然后再思考规律。冷静思考后，一看到“10人单循环赛，一共要比几场”的问题，自然就是“刷刷刷”地罗列出1、2、3、4、5、6、7、8、9、10号，一个不少地，连线、列表，数出结果，或者列出算式1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，再就是10乘（10-1）÷2=45……总之，体现的是“从结果寻找结果”的思维方式。如何颠覆这种惯性思维，体现从简单情形入手？我们应这样思考：

1.简单情形具体是什么样的？在这里，最简单的情形是什么情形？

2.如何从最简单的情形开始，一步一步研究，直到得出规律？

3.怎样让孩子体验这个看似做无用功的过程？并乐意去探索？

打破思维定势，从头开始！

团队研讨后，决定改变：从关注结果的表现形式，调整为关注发现规律的过程。不去关注结果，而是关注最简单的情形———从“两个选手”开始，逐步增加3号选手，研究这时的情形，再增加4号选手，研究目前的情形……直到从中发现规律，解决10个选手，乃至100个、1000个选手的问题。将“10个选手单循环赛一共要比几场”这样复杂的问题，用“化归”的数学思想，通过画图、列表，从简单情形入手，发现规律，最后解决复杂问题。因为“化归”既是一般化的数学思想方法，具有普遍的意义；也是攻克各种复杂问题的法宝之一，有重要的意义和作用。

调整一：化复杂为简单

有些数学问题比较复杂，直接解答过程会比较繁琐，如果在结构和数量关系相似的情况下，从简单的情形入手，找到解决问题的方法或建立模型，可以化繁为简，寻求一些规律、技巧和捷径，实为一种上策。

案例片段2：调整后新课开始探索部分

三、利用列表或画图的方式寻找规律

（一）从简单情形开始研究

师：最简单的情形就是2个选手，我们从2个选手开始研究，再研究3个选手、4个选手，这样依次考虑。

（二）逐步画出示意图并写出算式

师：示意图可以是列表，也可以是画图。我们该如何从简单的情形逐步画出示意图，并写出算式呢？

（课件出示）举个例子，在列表法中，可以先填写1号选手，不能比；再添2号选手，打一个√，马上把图形信息转化成数字信息，2个选手比1场；再添3号选手，在原有基础上再增加两个√，因此3个选手，比1+2=3场。

在画图法中也是如此，画一个，写一个，画一个，写一个，你能像这样接着往下考虑吗？

师：在画的过程中要仔细观察算式，当你发现了规律就可以停止往下画图。

（三）观察算式，你能发现什么规律？

学生独立思考，寻找规律，教师巡视。研课思考：展现探索规律的过程，学生在教师的引导下体验表格、画图的形成过程，从最简单的情形1个选手、2个选手、3个选手开始，一步一步研究，并及时将图与式进行转化，帮助学生积累基本的活动经验。学生在此基础上研究4个选手、5个选手的情形，基本上能在活动中自觉发现规律，达成预设目标。让学生明白带着思考去列表、去画图，而不仅是将作业单填满，更重要的是发现其中的规律。在研课过程中，决定舍弃规律3（比赛场数=（n-1）×n÷2）的发现，因为考虑到受益面的问题，认为这高于多数学生的理解水平，不利于全体学生的学习。调整为大量的时间用来细化感悟过程，让学生充分感受“如何从简单情形入手”“如何展示表格”“图画的形成过程”“如何在算式中发现规律”。

调整二：化陌生为熟悉

学生学习数学的过程，就是一个不断面对新知识的过程；解决疑难问题的过程，也是一个面对陌生问题的过程。从某种程度上说，这种转化过程对学生来说既是一个探索的过程，又是一个创新的过程；与课程标准提倡培养学生的探索能力和创新精神是一致的。因此，在教学中，让学生学会把陌生的问题转化为熟悉的问题，是一个比较重要的原则。

案例片段3：新知学习前的回顾，课堂总结后的延伸环节一：制造矛盾冲突，引出寻找规律的策略

师：要解决10人单循环赛，你准备用什么方法呢？生：画图、列表

师：要数出一共要比赛多少场？容易数吗？（不容易、很麻烦、很慢……）

师：我们想象一下，如果是100人、1000人？（更不容易、更麻烦、数不清）

师：那要怎么办？

环节二：课末总结延伸

师：我们从简单情形入手，借助画图与列表，寻找到规律，从而解决复杂问题。其实这种化难为易的做法早就进入了我们的学习生活。我们一起来看一看！

师：在五年级上学期所学的图形的规律问题中，我们要解决“摆10个三角形，需要多少根小棒”这样复杂的问题，我们也是从1个、2个、3个、4个这种简单的情形入手，寻找规律。还有鸡兔同笼问题，也是从简单情形入手，点阵中的规律问题也是从简单情形入手，像这样的问题还有许多许多……

在今后的学习中，如果再遇到这样复杂的问题，我们可以怎么做呢？

生：从简单情形入手。

研课思考：站在毕业班的高度，帮助学生梳理数学思想方法：从三年级4支球队的比赛场次的学习—六年级10人单循环赛的比赛场次问题—五年级图形中的规律、鸡兔同笼、点阵中的规律—后续运用。两个小环节，使本课的学习有了“前世今生”。环节一从回顾以前相关的旧知开始，复习所用的画图、列表等解决问题的方法，并在此基础上进行提升、简化，唤醒学生的认知，帮助学生找到解决新的问题的方向，然后出示完整的图、表，让学生观察后觉得“太麻烦了”，当人数更多时“不可想象”，体验到列表、画图的局限性，进而产生学习新方法———寻找规律的必要性。环节二，在学完新知之后，有了“化难为易”的充分感受之后，再回頭去看之前的学习，发现其实这种“化归”的数学思想一直“隐身”在我们的数学学习之中，今天的学习使之明朗化、清晰化，真是“拨开云雾见天日、守得云开见月明”，可为以后解决新的、复杂的问题提供方向，课后能够自动迁移到一些从未遇到的数学问题。课后可运用到的具体情形，如：

2.把186拆分成两个自然数的和，怎样拆分才能使拆分后的两个自然数的乘积最大？187呢？

3.一层楼有10个台阶，一次只能上1个或者2个台阶，一共有多少种不同走法？

研课感悟：整个研课过程下来，团队中每个人都是收获多多，有过迷茫，有过困惑，有过激烈争论，有过茅塞顿开，留下思考无数。如何把握教材的脉搏？如何帮助学生积累活动经验？如何唤醒学生的相关记忆？……有些问题已经解决了，有些问题还没有最佳的答案。

因为，对于课堂，我们一直在路上，从未止步！

（福建省泉州市鲤城区实验小学，福建泉州362000）