透析初中数学折叠问题的特点和方法

吴贵霞

【摘要】 折叠问题是初中数学学习的一个重要专题，也是近几年中考的考试热点，此类型题目是属于图形变换中轴对称变换的有关问题，不仅能考查学生的抽象思维能力，而且能考查学生对数学知识的转化能力，更重要的是培养学生综合分析问题的能力。

【关键词】 折叠 轴对称变换 基本活动经验

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2016）06-029-01

浏览一下近几年浙江各地的中考试题，可以看到有关翻折或旋转的试题在各种考题中频频出现，可见图形变换在中考中的地位是非常重要，一些专家的讲座中也多半利用图形的变换设计例题进行讲解。在初中的几何学习中，学生往往对折叠的实质理解不透彻，导致对这类问题失分严重，本文通过初中数学中经常涉及的几种折叠的典型问题的剖析，从中概括出基本图形的规律，找到解决的常规方法。

一、折叠图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状和大小不变，是全等图形，所以有对应边相等，对应角相等

1. 如图，有一张面积为1的正方形纸片ABCD，M、N分别是AD、BC边的中点，将C点折叠至MN上，落在P点的位置，折痕为BQ，连接PQ，则PQ= _________.

2.如图，在一张长方形的纸片ABCD中，AD=25cm，AB=20cm，点E，F分别是CD和AB的中点.现将这张纸片按图示方式折叠，求∠DAH的大小及EG的长（精确到0.1cm）。

解题策略：以上两小题都是比较基础的题目，通过折叠中全等图形对应边和对应角相等的知识就能很快解出题目的答案，如（1）中由折叠可得△BNP≌△BCQ，可得BP=BC=2BN，所以∠BPN=30°，∠PBN=60°，∠QBC=∠PBQ=30°，所以PQ=CQ=BC*tan30°；（2）中由折叠可得△AFG≌△ABH，可得AB=AG=2AF，所以∠GAB=60°，∠BAH=30°，∠DAH=60°，EG=EF-GF=25-10*1.732=7.7.

二、折叠问题求线段可以用设所求的线段为x，运用勾股定理列方程思想求解

1.如图，一张矩形纸片ABCD的长AD=8 cm，宽AB=4 cm，现将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，求BE的长是 cm，折痕EF的长是 cm.

解题策略：设BE=x，则AE=8-x，在RT△ABE中用勾股定理列出方程求解即可。

2.如图，四边形ABCD是矩形，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交CD于点F.连接DE，求DF的长度为 。

解题策略：先证AF=CF，设DF=x，则AF=4-x，在RT△ADF中用勾股定理列出方程求解。

三、在矩形（纸片）折叠问题中，重叠部分是一个等腰三角形，底角相等可以由角平分线和平行线性质得出

1. 如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交CD于点F.连接DE，（1）判断△ACF是什么三角形，并说明理由；（2）求证：DE//AC.

解题策略：由折叠可得∠BAC=∠FAC，由AB//CD可得∠DCA=∠BAC，所以∠FAC=∠DCA，可证AF=CF，△ACF是等腰三角形；由（1）得AF=CF，AE=CD，所以DF=EF，可得DF：CF=EF：AF，又因为∠AFC=∠DFE，所以△ACF与△DEF相似，继而得出∠ACF=∠EDF，所以DE//AC.

四、折叠问题实质上是轴对称变换，折痕就是对称轴，对称轴是对称点的连线的垂直平分线

1.如图AD是△ABC的中线，∠ADC=60°，BC=6，把△ABC沿直线AD折叠，点C落在点C`处，连结BC`，那么BC`的长为_____________。

解题策略：连结CC`交于O，则折痕AD垂直平分CC`，OD为△BCC`的中位线，BC`=2OD=CD=3.

2. 如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF和CE. （1）求证：（1）四边形AFCE是菱形； （2）若AB=8cm，BC=16，求△ABF的周长。

解题策略：方法一，由等角对等边可证AF=AE，同理CF=CE，可证AF=FC=CE=AE，四边形AFCE是菱形；方法二，因为折痕EF垂直平分AC，而AE=AF，由等腰三角形三线合一可证AC也垂直平分EF，所以四边形AFCE是菱形。

以上是笔者在这一轮初三复习中总结概括的一些特点和方法，虽然列举的是小题目，但是可以以小见大，从小题目中积累的方法同样适用大题目，在讲解折叠问题的时候，仔细分析发现学生做不出来的原因大多是对折叠的特点了解不透彻，学生动手能力和空间想象能力差，继而就不敢大胆的猜想和论证，这些方面的原因，其实受传统的“以教师的讲解为主、以题练题”的数学教学思想影响，所以我认为在中考复习方法的探究上，对学生在解题方法的引导和总结时更重要的是让学生来总结和分享。

总之，在解决折叠问题时，首先要对图形折叠有一定准确定位，借助方程思想和构造直角三角形的思想，把握对称的性质，抓住图形之间的轴对称变换，进一步挖掘图形的数量关系，折叠问题就能轻松解决。

[参考文献]

[1] 全日制义务教育数学课程标准.

[2] 栾春霞.数学课程论与数学课程教材改革.教育部师范教育司组织评审.