数学素养：在教学“等待”中落地

江苏南京市栖霞区实验小学 张新宇

教师课前的备课设计往往决定上课的质量。笔者作为新教师在备课时，既想让课堂教学能上出精彩，又总担心学生是一张白纸，在某些问题中“答不到点子上”。因此，教师在课堂教学过程中，经常会对学生生拉硬拽，不给学生充分的时间交流，舍不得将太多的时间留给学生来表达，常常将学生的发言打断，把课堂思维向自己的课前预设中带。这就造成了教师一直说个不停，实行“满堂灌”教学，导致教学效果低下，难以完成预期的教学目标。其实，这正是新教师中常见、多发的心性毛糙、修养缺乏历练的毛病。

新教师往往比较自我，多把注意力全部集中在如何设计出精彩的教学环节上，而忽略如何让学生学得出彩。如果换一个角度思考，从学生视角出发，课堂中学生的生成，其实就是最好的教学资源材料。教师在设计教学时，不能仅仅局限于教材、眼睛盯着知识体系，要兼顾学生，留给学生充分的交流和表达的时间，让学生在课堂上能够真正地参与到学习中，这样才能使他们的数学素养落地生根。笔者在担任五年级数学教学的一年里，就多次发现，其实学生有时在课堂上的数学学习思维表现，甚至能够超出教师的想象，儿童其实是具有无限的发展潜力的。

一、抽象思维：对儿童生活经验的深度挖掘

方程是数学里的一种重要思想方法，其基础是用字母表示数，其实质是用一般性代替一个个具体的数，是思维的假设和抽象概括。而许多学生在五年级下册学习列方程解应用题时，常常不容易适应方程思想，他们仍然局限于从低年级一直沿用的列算式计算求结果的思维方式，不习惯将未知数当作与已知数同样地参与列式的思考表达方法。因此，如何培养学生的代数思维，让学生克服原有列式计算思维方式的约束，顺利列出方程，困扰着刚从事五年级数学教学的新教师。

【案例片段1】苏教版数学五年级上册第78页的一道思考题：

“买3支圆珠笔和2支铅笔要8.7元，买2支圆珠笔和3支铅笔要6.8元，圆珠笔和铅笔的单价各是多少？”

该题在还没有学习方程时，学生们能够解答吗？他们会怎么解决呢？为了了解学生对此问题到底能不能解答，又可能采取什么方法解答，笔者决定先找班里几个思维较为灵活的学生作为摸底对象，让他们尝试思考一番。课间，笔者给他们提出了这道题目。结果他们不仅解决了这个问题，并且几个同学一起钻研，竟然呈现出多种的解题方法。有的学生通过列出表格进行分析，有的画出线段图比较数量关系，也有的运用已知数据带进去凑算试验……其中有个学生很特别，他得意地向大家清晰地解说着他的思路——

“3圆+2铅=8.7；2圆+3铅=6.8，将它们合在一起买，就是5圆+5铅=15.5，那么我们买1圆+1铅就是3.1元。如果我们买2圆+2铅就花了6.2元。”笔者问道：“你求出这个有什么用呢？”“老师你看，题目中买3支圆珠笔和2支铅笔用了8.7元，比这个多买了一支圆珠笔。多花的8.7-6.2=2.5（元）不就是一支圆珠笔的价钱吗？同样的，我们也能根据第二个条件算出一支铅笔的价钱是6.8-6.2=0.6（元）。”

学生的新颖思路的确十分巧妙难得，其中的思维表现细细分析起来有如下的超常之处：一是将圆珠笔和铅笔分别用“圆”和“铅”字来简化代替，以简练的方法列出两个含有文字的类似“方程式”；二是解法思考中将题中两个购买情况合并，从而得到了同样圆珠笔与铅笔都是5支的总价为15.5元；三是由此他推导计算得到一支圆珠笔和一支铅笔是3.1元，进而两支圆珠笔与两支铅笔就是6.2元的结论；四是用这一结论与第二种购买情况比较，就推导出一支铅笔是6角；最后学生求出了一支圆珠笔是2.5元。思路清晰，过程完整。

对此，笔者不禁陷入了沉思，在笔者思考这道题目的时候，就算不列方程，也会用到等式的性质，而没学过等式性质的学生，却能够联系生活情景，做出这样有序的推理，着实令人赞叹。这位学生的思考方法实际上就是解二元一次方程的思想，只是他自己还没有注意到这一点罢了。之后，也有学生陆陆续续地站起来，向大家说出他们的解题方法，其中不乏通过这样的方法解题的学生，竟然能够运用题中的两个数量关系式相减，用“圆珠笔抵消铅笔找出它们的单价差为1.9元”为切入点进行解题。更有学生已经接近于找出中学数学教学中使用的“消元法”了，只不过学生暂时不能这么明白地说出这一方法名称而已。

在该班学生学完用字母表示数第一课时之后，笔者引导学生明白，前段时间的思考题，实际上就是用汉字“圆”“铅”来代替这两种物品的价格。如果把物体汉字用汉语拼音字母的首字母来表示，可以怎么表示呢？学生想到了用“Y”和“Q”来列出表示数量关系的算式！当学生发现了这样表达的巧妙后，会为方程的学习打下良好的基础。

二、迁移规律：抓时机引导类推的巧妙串联

小学阶段的简便计算题，往往是运用四则运算的运算定律来对算式进行转化，使之便于计算。一方面运用运算定律进行简便计算具有一定的灵活性，对于数学能力要求较高，对于学生来说具有一定的困难。另一方面，运算定律的运用也为培养和发展学生思维灵活性提供了极好的机会。以往的简便计算练习题的讲解，笔者也就是让学生说一说运用了哪些运算定律，怎样转变的，思维要求往往千篇一律。但是在一次课前引入环节，笔者出了一道简便计算题，有一个学生的解题思路却深深地吸引了我。

【案例片段2】新授前的引入思考题：简便计算490÷35。

对于此类题，学生已经不知道做过了多少遍，看见题目迅速动笔计算：490÷35=490÷（7×5）=490÷7÷5=70÷5=14。然后他们自信满满地说：“先将35拆成7×5，再去括号，应用除法的性质这里7和5之间的乘号要改写成除号！”本以为这题已经练习完毕，可以翻篇进入下一题了。此时，另一个学生缓缓地举起了手说：“老师，这题我还有别的方法！”笔者让她上台演示了自己的解法。她边写边说：“这里可以用除法中商不变的规律，将被除数和除数同时除以7，也能将算式化简，从而进行简便计算！算式是：490÷35=（490÷7）÷（35÷7）=70÷5=14。”这样一道“典型的”简便计算题，也可以运用商不变的规律，另辟蹊径来作答。此时学生能够跳出思维定式，不拘一格出新意，显露出不俗的思维表现。

该学生的另解思维点醒了笔者，同时也在其他学生的心中留下了深深的烙印。受此启发联想，在接下来学习小数除法时，不少学生看到题目就已经能联想到，可以运用商不变的规律来进行计算。教师又进一步引导学生在此基础上继续类推迁移：一是让他们编出一些类似于4.8÷1.8的小数类除法题，尝试应用商不变规律；二是将被除数和除数同时乘一个整数比如5，使得除法算式变为整数除法题进行简便计算，让学生完整理解商不变的规律，在除法计算中实现多层提升。这样，学生步步迁移，拾级而上，学得非常轻松，在以后的数学学习中，就能够多途径地应用商不变规律从容应对了！

三、几何直观：儿童“错误”资源的真实捕捉

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思想，预测结果。”几何直观是一种十分重要的数学能力，借助于以形示数的几何图示直观，实现直观形象思维与抽象逻辑推理思维的结合，不但能够促进儿童思维的发展，还可以帮助学生更为便捷地解决一些涉及图形的数学问题。

【案例片段3】看图计算圆外切正方形与内接正方形的面积关系问题。

在苏教版数学五年级下册《圆》这一单元教学中，在练习题中曾经出现过这样一道题目：

如图1，已知大正方形的面积是40平方厘米，求小正方形的面积。

拿到这个题目，大部分学生无从下手，有几个“尖子生”开始动笔了，他们设大正方形边长为d,圆的半径为r,大正方形的边长就是圆的直径，那么因为大正方形的面积=边长×边长=40，那么可以得出d2=40，实际上就是2r×2r=40，也就是4r2=40，则r2=10。接着，连接对角线（如图2）之后就会发现，小正方形面积是由四个小三角形组成的，三角形的面积就是r2÷2，四个就是2r2，那么就能求出小正方形的面积是20平方厘米。

这个时候，班级里传来一声：“你图画错了！”笔者循声看去，原来是我们班的一个小女孩把图错画成了图3被人提出了纠正意见。“错画”图形的女生坚持说：“那我把这个圆连同里面的小正方形一起转一下不就好了嘛？这样小正方形的面积不就是大正方形面积的一半嘛？”这个旋转的方法一出，学生更兴奋了。在图中，添上小正方形的对角线，就清楚地看出，组成小正方形的每一个小三角形，都是组成大正方形的每一个小正方形的一半！借助于旋转45°，运用几何直观，使得算式简单，方法易懂，真是另辟蹊径，一目了然！

建构主义学习理论认为，学生并不是知识信息被动的接收者，而是积极主动的构建者。每个学生都是以自己头脑中已有的知识和经验为基础，用个人特有的思维方式建构对事物的理解、进行检验和加以评议批判的。不同的人看到的是事物的不同方面。因此，即使是再好的教学设计，也不能保证每个学生的思维都不会超越教师预设的思维轨道。树立建构主义的教学观，具备了尊重儿童、相信儿童主体作用的儿童观，教师在遇上教学中儿童思维一时卡壳的现象时，应耐心等待，给学生留足思考的时间和机会。

在课堂中，我们不妨放慢脚步，学会等待。等待不是无为,等待是学生成长路上的相伴相随,它是一种宽容；等待是一种睿智,是一种“慢”教育；等待是一种信任,是一种用心赞赏,是一种用爱和学生的同行。教师站在学生的角度，重视儿童的奇思妙想，耐心倾听学生们的表达，让他们真正地成为课堂的主人。通过耐心的课堂等待，兴许，精彩就能出现，儿童数学素养的发展就会出现飞跃！