时间尺度上非完整系统相对于非惯性系的Lie对称性

彭 姣，朱建青

(苏州科技大学数理学院，江苏 苏州 215009)

1961年Lur’e给出完整力学系统相对于非惯性系的方程，根据分析力学方法给出了相对于非惯性系各类动力学方程，同时对相对于非惯性系系统的Noether对称性[1-3]等进行了相关探究.1979年，Lutzky在力学系统上从全新的角度来探究Lie对称性和守恒量[4-7]，紧接着这一研究方法被迅速传播，取得了很多显著成果[8-10].同时，关于相对于非惯性系Lie对称性的研究，已有了许多工作，梅凤翔在分析力学专题[11]中研究载体与被载体相对于非惯性系的运动微分方程.他又在非Chetaev型非完整系统[12]中建立了相对于非惯性系的Lie理论.岳楠和张毅则对关于相对于非惯性系的Lie对称性及其逆问题在事件空间中进行了研究[13].

1988年，德国学者Stefan Hilger在他的博士论文中第一次提到时间尺度理论[14]，是为了同时解决连续和离散分析并且将它们的理论扩展到“介于两者之间”的案例[15].近年来时间尺度理论上关于数学研究应用于统计学、金融学、工程学等科学分支，同时关于对称性与守恒量的探究在动力学系统中也得到了一些重要成果[16-25].2012年，蔡平平运用时间尺度理论对约束力学系统的对称性进行了详细的研究，给出了计算约束力学系统第一积分方法[26].然而关于时间尺度上相对于非惯性系Lie对称性研究还较少，本文基于时间尺度理论研究非完整系统相对于非惯性系的Lie对称性及守恒量.

1 时间尺度上非完整系统相对于非惯性系的运动方程

若相对于非惯性系的运动受g个理想双面非完整约束

(1)

(2)

时间尺度上相对于非惯性系系统的Hamilton原理为

(3)

(4)

由(2)式，则原理(3)可表为

其中γβ为Lagrange乘子.

根据Dubois-Reymond引理，可得

(5)

对上式求Δ导数可得

(j=1，2，…，n;β=1，2，…，g)，

(6)

方程(6)称为时间尺度上Lagrange方程非完整系统相对于非惯性系的运动方程.

假设系统非奇异，即

(7)

由方程(1)和(6)可求出γβ的函数，并将其代入方程(6)可得

(j=1，2，…，n)，

(8)

其中，

(9)

通过(8)式可进一步求解出所有广义加速度

(10)

2 时间尺度上非完整系统相对于非惯性系的Lie对称性与守恒量

引入无限小变换

t*=t+εζ0(t，κ)，

(11)

取生成元向量[28]

(12)

它的一次扩展

(13)

以及它的二次扩展

(14)

即方程(10)在时间尺度上的无限小变换(11)下的不变性可表为

(15)

进而归结为如下确定方程

(16)

定义1对于符合确定方程(16)的生成元ζ0，ζj，则对称性为时间尺度上非完整系统相对于非惯性系的Lie对称性.

约束方程(1)由(11)式性质可得限制方程

Ζ(1)(ψβ(t，κσ，κΔ))=0 (β=1，2，…，g).

(17)

考虑到方程(2)对ζ0，ζj的限制，得到附加限制方程

(18)

定义2对于同时符合确定方程(16)、限制方程(17)和附加限制方程(18)的ζ0，ζj，则对称性为时间尺度上非完整系统相对于非惯性系的强Lie对称性.

定理1如果生成元ζ0，ζj在确定方程(16)中成立，并且存在符合结构方程

(19)

的规范函数R=R(t，κσ，κΔ)，则时间尺度上非完整系统相对于非惯性系的守恒量

(20)

证明由文献[29]可推得时间尺度上公式如下

(21)

定理2如果生成元ζ0，ζj在确定方程(16)、限制方程(17)和附加限制方程(18)中同时成立，并且存在符合结构方程(19)的规范函数R=R(t，κσ，κΔ)，则时间尺度上非完整系统相对于非惯性系存在形如(20)的强Lie对称性守恒量.

(22)

相应式(20)为经典的非完整系统相对于非惯性系的Lie对称性守恒量

(23)

3 算例

设时间尺度

(24)

相对于非惯性系的Lagrange函数为

(25)

Τ3=0 (j=1，2，3)，

(26)

其中载体以匀角速度ω绕某铅垂轴转动，被载系统为一单位质量的质点.所受非完整约束为

(27)

研究系统的对称性与守恒量.

首先，由(6)式可得系统的运动方程为

(28)

由方程(27)、(28)求得约束乘子

(29)

将(29)式代入方程(28)可得

(30)

其次，根据(16)式建立Lie对称性的确定方程可得一组解为

ζ0=1，ζ1=ζ2=ζ3=0.

(31)

然后，判断是否是强Lie对称性，由(17)式和(18)式可得

(32)

(33)

显然，生成元(31)满足(32)式和(33)式，于是它相应为该系统的强Lie对称性.

最后，由结构方程求解规范函数及其相应守恒量，将(31)式代入(19)式可得

R=0，

根据式(20)可得时间尺度上非完整系统相对于非惯性系的守恒量

4 结论

本文基于Hamilton原理和Dubois-Reymond引理，研究了时间尺度上Chetaev型非完整系统相对于非惯性系的Lie对称性与守恒量.通过不变性原理推导出了确定方程和限制方程，进而得出了结构方程和相应的守恒量，并通过算例说明了结果的应用，其思想方法可推广研究到相对于非惯性系的非Chetaev型非完整力学系统.