一道探究型试题的解题分析

■潘登柱

题目如图1所示，在平面直角坐标系中，以点A(1，0)为圆心，以2 为半径的圆交x轴于B，C两点，交y轴于D，E两点。

图1

(1)求D，E两点的坐标。

(2)求过B，C，D三点的抛物线的解析式。

(4)抛物线上是否存在点P，使以P，B，C，E为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。

分析：(1)根据垂径定理有OD=OE，只需求出一点坐标即可。

法一：根据勾股定理。连接AE，在Rt△AOE中，OA=1，AE=2，所以OE=，即。

法二：根据勾股定理及等量代换。连接CE，BE，在Rt△COE，Rt△EOB中，OE2=CE2-OC2，BE2=OB2+OE2。又因为BC为☉A的直径，所以∠CEB=90°，所以BE2=BC2-CE2。联立以上各式即得。以下同法一。

(2)由(1)知B(3，0)，C(-1，0)，D(0，，求抛物线的解析式，可用一般式、顶点式。

法一：利用一般式。设方程为y=ax2+bx+c，用待定系数法得所以，所以y=。

法二：利用顶点式。设方程为y=a(xk)2+h，由对称性知k=1，又过B(3，0)，两点，用待定系数法得，，所以。

(3)过点A作AQ⊥MN交MN于Q，由已知得。

法一：利用三角形相似。在△OMN与△QAM中，，AM=4，所以，所以AQ=2=r，即MN与☉A相切。

(4)该小题为探究性题，需要满足两个条件，一是四边形PBCE为平行四边形；二是点P满足抛物线方程，利用一个条件判断另一个条件即可。

法一：根据平行四边形性质。设P(x，y)，EP∥CB，EP=CB。所以不满足抛物线方程，这样的点P不存在。

法二：根据平行四边形对角线性质及中点坐标公式。设P(x，y)，则所以不满足抛物线方程，这样的点P不存在。