多元表征，完善认知

沈勤

【摘   要】乘法分配律是教学难点之一，为了突破这个教学难点，需了解学生在运用乘法分配律中存在的“共性错误”，有针对性地对“乘法分配律”一课进行经验改造。教师可借助图文，通过经历发现、经验唤醒、迁移引申、拓展应用等多元表征，完善学生对乘法分配律的理解和运用。

【关键词】乘法分配律;对策;教学

学生在运用乘法分配律的过程中总是错误百出，笔者对六年级某班46名学生在总复习时用乘法分配律计算中出現的问题进行了统计（排除纯粹计算错误的情况），具体情况见表1。

表1   学生运用乘法分配律错误情况统计

[典型题目 错误运用及非合理方法 人数 占% ①2.5×（0.4×8） （2.5×0.4）×（2.5×8） 9 19.57 ②[（313+117]）[×13×17] [（51221+13221）×13×17] 6 13.04 [313×13+117×17] 24 52.17 ③ [724÷（712+78）] [724×127+724×87] 19 41.30 ④计算面积：

无从下手 3 6.52 面积周长混淆（9+19）×21 4 8.70 21×9+19×9=189+171=360（平方米） 30 65.22 ]

统计发现：六年级学生对于乘法分配律的理解与运用能力总体水平不高。

表1中第1题的错误说明由于结合律与分配律在形式上相似，部分学生对两者的结构特征认识不到位，容易形成知觉上的错误，混淆了两者的区别。

表1中的第4题，学生关注更多的是“怎样求面积”，而缺少对算式中数据特征的观察，很多学生按“先分别乘，再求和”的运算顺序进行复杂计算。

表1中第2题、第3题的错误表明，学生对乘法运算律的理解存在形与意的脱节，只停留在表面、形式上。

怎样才能让学生真正从模仿走向理解？笔者通过多元策略对人教版四年级下册“乘法分配律”一课进行教学，加强了学生对乘法分配律的理解和运用。

一、图文结合，使结构特征可视

教材主题图呈现了这样的信息：“一共有25个小组，每组4人负责挖坑、种树，2人负责抬水、浇树。一共有多少名同学参加了这次植树活动？”在用两种方法解决的基础上抽取出等式“（4+2）×25=4×25+2×25”。这样的单一情境，单一形式，难以让学生发现乘法分配律的结构特征。笔者设计了“图文结合”的情境，有助于学生运用多元可视化表征理解乘法分配律的结构特征。

在一个长方形花圃里栽了郁金香和玫瑰花（如下图）：

（1）这个花圃一共占地多少平方米？

（2）如果在这个长方形花圃外围围上栅栏，栅栏至少需要多少米？

（动态演示，标出长方形的长60米，宽15米）

结合图形，学生发现每一个问题都有两种解题思路，分别是面积：[36×15+24×15或（36+24）×15];周长：[60×2+15×2或（60+15）×2]，一种方法是“先求和，再相乘”，另一种方法是“先分别乘，再求和”，将学生的视线引向对结构的观察。

学生对乘法分配律结构特征的感悟需要更多的学习材料“造势”。教师可引导学生举例，用相同结构算式解决实际问题，根据学生的举例利用“式”与“图”相结合的形式帮助学生理解，从而巩固对两种结构的认识。

学生对这两种结构充分认识后，教师可让学生用方框分别表示出两种算式的结构特征，得出：[□+□×○和□×○+□×○]，建立乘法分配律的结构模型。

二、经历发现，使数据特征凸显

计算要根据算式和数据的特点，灵活处理运算顺序，这一环节设计了探究化的“经历发现”活动。

小组讨论：是不是只要具备了（□+□）×[○]，□×[○]+□×[○]结构特征的两个算式就一定相等？举例验证。

学生在清晰结构特征的基础上进行探究、验证，教师巧妙地引导学生对数据特征展开探究（见下图），有利于学生对乘法分配律的理解与掌握。

学生通过研究发现只有具备这样的结构特征，同时又具备这样的数据特征，两个算式才是相等的。让学生根据发现的规律，用算式或字母表示出来（见右图），引导学生经历不完全归纳法概括运算定律的过程。

在学习乘法分配律时还要重视简便计算意识的渗透。教学中，教师要对两种解题思路进行比较，如36×15+24×15与（36+24）×15，让学生去辨别哪一个算式计算比较简便，渗透凑整可使计算简便的思想。

三、经验唤醒，使定律意义明晰

如果我们的教学就到抽象出运算定律这一步，学生往往会将形式与意义割裂。因此，在学生探索规律后，教师可追问：这样的现象是巧合还是客观存在的？

（一）从“单一”走向“丰富”

让学生从笔算乘法的算理中，理解定律的运用。

你能在下图中找到乘法分配律吗？

人教版三上《两位数乘一位数口算》    人教版三下《两位数乘两位数笔算》

教师通过让学生在“口算12×3”“笔算14×12”中寻找应用乘法分配律的过程，引导学生解释这样计算的合理性。

再引导学生借助几何直观，进一步体会到发现的定律是客观现实规律。

人教版三上《长方形的周长》

学生根据原有的学习经验，经过辨析对比，丰富对乘法分配律的理解。

（二）从“形”走向“意”

学生只建立乘法分配律结构的图式（□+□）×○=□×○+□×○是不够的，还需要真正理解这个结构的意义。因此可以设计这样一个问题：你能解释为什么“7×5+3×5=（7+3）×5”嗎？引导学生从乘法意义的角度解释乘法分配律的结构，使学生在交流互动的过程中完善对乘法分配律的认知，从“形”走向“意”，达到形意合一。

（三）从“浅显”走向“深层”

通过辨别让学生进一步明晰乘法分配律的意义。教学中，可设计这样一个判断练习：

下面的算式哪些运用了乘法分配律？

对学生出现的典型错误，教师要引导其进行深入讨论，使其对乘法分配律含义的理解从浅显走向深层。

四、迁移引申，使定律应用拓展

乘法分配律有许多的变式应用，教师要帮助学生找到这些应用与基本结构的联系，培养学生由此及彼的推理能力。

从两个数的和与一个数相乘迁移引申到两个数的差与一个数相乘。

种郁金香的面积比种玫瑰花的面积大多少平方米？请在图上表示出大的面积部分，并列式计算。思考：你想到了什么？

鉴定有没有乘法对乘法的分配。

这三组对比练习，你认为哪两个算式的结果是相等的，为什么？

25×（4×3）   25×4+25×3

25×（4×3）  （25×4）×（25×3）

25×（4×3）  （25×4）×3

为了更好地理解乘法分配律，有必要让学生对原有的运算定律进行沟通与比较。乘法结合律和乘法分配律非常相似，学生容易混淆，是学生学习中的易错点，通过对比鉴定，帮助学生感知两者结构的不同。

从两数之和（差）与一个数相乘拓展到三个数、四个数……之和（差）与一个数相乘。

如果这块地在原来种郁金香和玫瑰花的基础上又开发了一块长40米，宽15米的地种向日葵。请在图上表示出拓宽的面积。列式计算。思考：你想到了什么？

让学生通过对实例的观察分析，归纳概括出乘法分配律的一般运算规律，提升学生的学习能力。

参考文献：

[1]张奠宙，等.小学数学研究[M].北京：高等教育出版社，2011.

[2]俞军.借助几何直观   促进有效建模——以“乘法分配律”一课为例[J].小学数学教师，2015（6）.

（浙江省平湖市乍浦天妃小学   314201）