“解决问题”教学中“回顾与反思”的10个视角

田小勤

【摘   要】“解决问题”教学强调让学生经历“阅读与理解、分析与解答、回顾与反思”的全过程。其中，“回顾与反思”是数学解决问题的重要过程。聚焦“回顾与反思”，简单阐述“回顾与反思”的教学价值及人教版教材关于“回顾与反思”的具体编排，并从“回顾检验”“反思梳理”“比较沟通”“质疑创新”四个思维水平层级提出“回顾与反思”的10个视角，有助于教师认识“回顾与反思”的重要性，充分发挥“回顾与反思”的教学价值。

【关键词】回顾与反思;教学价值;反思视角

人教版教材给出了“解决问题”的一般步骤，即阅读与理解、分析与解答、回顾与反思，为一线教师提供了基本教学路径。但在实际教学中，还是存在各种困难与误区，如若干学生简单地把“回顾与反思”等同于“验算”，只关注计算结果是否正确;根深蒂固地认为“得到答案就是解决问题的结束”。通过访谈，教师普遍反映，学生在練习中不愿检验，作业也难以呈现“回顾与反思”的过程，教师无法进行监控与评价……因此，“回顾与反思”到底要做什么？它的价值何在？该如何定位？“回顾与反思”有哪些视角？这些问题都值得深思。

一、“回顾与反思”的教学价值

数学家波利亚认为，数学解题分为理解问题、拟订计划、实现计划、回顾与检验四个步骤，又对“检验回顾”提出多个视角：你能拟订其他解题方案吗？你能利用它吗？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？你能找到什么方法检验你的结果吗？曹飞羽先生把解答“应用题”的过程分为条件和问题的收集、分析数量关系、拟订解答计划、解答、检验与评价;蔡金法教授也指出：当学生解答了一个问题后，还要寻求不同的解答方法，提出新的问题和作出推广;单樽老师的“12条解题要诀”最后一条就是“注意总结”。他们都无一例外地强调了“回顾与反思”的重要性。

小学数学“解决问题”中“回顾与反思”的教学价值是：回顾完整解决问题的过程，重新斟酌、审查结果及获得结果的过程，培养学生自觉回顾、主动反思的习惯;深化对所应用方法策略的理解，促进学生形成解决问题更一般层面的思路;优化个体解决问题的经验结构，促进经验的迁移应用;提高学生发现问题和提出问题的能力。

二、人教版教材关于“回顾与反思”的编排

人教版新修订教材共编排“解决问题”新授课81课时，笔者逐一分析每一个例题的“回顾与反思”，并进行整理分类，具体情况如下表。

三、“回顾与反思”的10个视角

通过上述教材梳理及课堂教学实践研究，笔者从四个思维水平层级提出“回顾与反思”的10个视角。

（一）回顾检验，关注过程与结果的合理与正确

回顾检验主要对整个解题过程进行“元认知”评价，关注解答过程是否正确，结果是否合理，具体包括下面3个视角。

（1）解决问题的思路对不对？在以往的教学中也重视检验，但更多地强调“计算结果是否正确”，只停留在“验算”这样的初级层面。其实检验更要“回过头去”，重新审视整个解题过程的“元认知”。如人教版二年级下册《混合运算》单元的解决问题“剩下的面包还要烤几次”，是整套教材中第一次编排的典型复合问题，需要分析数量关系，提出中间问题。在回顾中，进一步明确解决问题的思路，可以是“剩下的面包数÷每次烤的面包数=剩下的次数”，或者是“一共要烤的次数-已经烤的次数=还剩的次数”，根据数量关系可以形成“先算……再算……”的解决问题思路。

（2） 算式是否正确？当确定解决问题思路正确的前提下，进一步关注算式是否完全与思路相匹配。需要重新思考每个算式表示的意义，是否已经解决了最终的问题。这个环节，还有必要检查所用的数据是否准确。

（3）结果是否合理正确？首先要判断结论是否合理，“合理”指既要符合生活常识，还要符合题意。比如人教版五年级下册《分数的加法和减法》单元中的“喝牛奶”问题，题意是“一杯牛奶，第一次喝了半杯，加满水，又喝了半杯，求一共喝了多少杯牛奶”。通过题意理解可以把握“一共喝的牛奶比半杯多，但比一杯少”。当学生算得的结果是“一杯半”或“一杯”时，只要有反思的意识，很快就能觉察结论的不合理性。其次，要关注结论的正确性。除了针对计算结果“验算”以外，还需要用“代入”法进行检验。所谓“代入”法即把算得的结果当作已知信息，回到原题，根据信息之间的关系，求得某一结论，如果与题中的相关信息正好相符，说明结论是正确的。笔者梳理了人教版教材中所有“解决问题”例题的“回顾与反思”，其中有22个是指向“代入检验”法的，需要教师从一年级起就关注“代入检验”的教学，使其成为学生检验的基本方法。

（二）反思梳理，优化“解决问题”的经验结构

反思梳理主要关注解决问题中的方法与策略，优化解决问题的经验结构，具体包括3个视角。

（1）遇到什么困难，有什么启示？正如波利亚所说：“当完成了任务，他的体验在头脑中还是新鲜的时候，去回顾他所做的一切，有利于探究刚才克服困难的实质，可以对自己提出许多问题：关键在哪里？重要的困难是什么？什么地方可以完成得更好些？为什么没有觉察到这一点？有没有值得学习的诀窍可供下次应用。”比如上述的“喝牛奶”问题，学生在反思中谈到最大的困难是“第一次喝了半杯牛奶后，又兑满热水，这时杯中的牛奶和水混合在一起，就不知道怎样表示了”。这是很大一部分学生的思维困境。因此在讨论有什么启示时，学生由衷地说道：“生活问题很复杂，要从数学的角度理解，变‘混合为‘分离，就容易了。”诸如这样的回顾与反思，不仅仅是关乎某一个问题的具体解决，更是形成一般的思维方式，可以让学生受益终身。

（2）应用了什么方法策略？包括对应用策略具体程序的回顾，体会策略的应用价值，以及应用策略的前提等等，进一步深化对方法策略的理解。如人教版三年级上册《测量》单元中的“运煤”问题，是学生第一次正式学习“列表”策略。回顾与反思时，除了教材中安排的“检验①和④两种方案是不是恰好运完8吨煤”以外，还要引导学生回顾用了什么策略，具体是怎样思考的。学生的认识是“先假设一辆车，最多运几次;然后逐一减少次数，算一算另一辆车需要运的次数;算出每种方案运的总量;最后选择所有符合的方案”。教师及时追问：“应用这样的策略有什么好处？”学生纷纷表达：“如果不列出来，就找不全所有方案。”教师还可以让学生进一步思考“怎样的问题也适合用列表法”，学生会通过举例等方式体会“比较复杂”“有多种答案”等问题特征，利于方法策略的后续应用。

（3）解决问题的关键是什么？这里的关键既可以是解决问题所应用策略的关键，也可以是解决问题中整体思考的要点。如上述“运煤”问题中的“列表策略”，特别要注意的是“有序思考”，才能保证方案不重复、不遗漏。又比如人教版四年级下册《四则运算》单元中的“租船”问题，“怎样租船最省钱”“租便宜的船”及“空位尽可能少”，这是解决这类问题必须思考的关键点。

通过如上的反思梳理，不仅深化对具体方法策略的理解，还能理性思考遇到的困难、错误结论、应对策略以及避免出错的经验等等。解决真实问题中的若干体验，只有经历有意识的反思，方可沉淀为解决问题的经验，从而丰富、优化学生个体“解决问题”的经验结构，提升经验水平。

（三）比较沟通，促进对数学本质的深刻理解

比较沟通主要关注方法与方法之间、数学问题与问题之间的联系，探寻数学内部的生态结构，促进对数学本质的深刻理解，具体包括以下3个视角。

（1）还有更好的方法吗？在初步解决某个问题后，需进一步思考更优的方法，或者反思有没有考虑不周之处，使得思维更深入、更合理、更全面。比如人教版五年级下册P37第9题，具体问题是：“茶厂工人要将长、宽各为20cm，高为10cm的长方体茶盒装入棱长为30cm的正方体纸箱，最多能装几盒？怎样才能装下？”学生一般有两种思路，一种是用“纸箱体积÷茶盒体积”，可以放6盒，还多出3立方分米的空间。另一种是空间想象，先沿“高”放，30÷10=3（层），可以放3层;再沿“长”放，空下来位置还可以再放一盒;最后沿“宽”放，同样也可以放一盒，一共可以放5盒。发现两种结果有差异，可以引导学生进一步思考，到底最多可以装几盒？有没有更省空间的摆法？最后，学生通过想象、现场模拟等，最终找到了摆6盒的方法，学生在这样的探索中形成了自我质疑、自我完善、追求更优方案的思维品质。

（2）不同解法之间有什么联系？解决某一问题，往往会有不同的方法策略及思路。学生容易理解方法之间的区别，但鲜少思考多种方法策略之间的联系。如“鸡兔同笼”问题，低年级学生可以运用画图策略加以直观解决，中年级学生可应用列表、假设的策略解决，高年级学生可应用列方程的方法解决。不同阶段运用的方法策略又有什么联系呢？低年级的“画图”恰是中年级“假设”策略的直观表征，能很好地理解每个算式表示的意义;而高年级列方程中的等量关系与中年级列表策略的数量关系完全相同，都是“鸡脚只数+兔脚只数=脚的总数”。更为一致的是，画图、列表、列方程等方法背后所蕴含的都是“假设”策略。

（3）不同问题之间有什么联系？沟通问题之间的联系，有两方面的思考。其一是指沟通“情境不同但结构相同的问题”。教师需要引导学生剥离纷杂的情境，贯通问题之间的实质，体会数学问题的相同结构。如人教版六年级上册P42例7：“第一队单独修12天能修完，第二队单独修18天才能修完。两队合修，多少天能修完？”在练习时，教师设计了“可可用15块A型积木搭，乐乐用10块B型积木搭，两人搭的高度相同。皮皮用一块B型、一块A型间隔地搭，如果搭的高度与可可、乐乐的相同，那么这两种积木分别需要多少块？”这道“搭积木”的问题，表面上看与例题截然不同，但实际上它们之间有内在的联系。学生解决问题后，教师引导其与例题作比较，发现“可可用15块A型积木搭”相当于例题中的“一队单独修12天能修完”……从而，非常清晰地看到两题结构上的一致性，构建相应的数学模型。

另一方面指的是溝通“运用相同策略的问题”。如教学人教版六年级下册P27例7时，在“回顾与反思”环节，教师可引导学生思考：以前在解决什么问题时也用到过“转化”？20以内的进位加法、多边形的内角和、平行四边形和三角形面积公式的推导、求不规则物体的体积……学生把若干个分散在不同年段的问题勾连起来，汇集点状零碎的经验，集中体会“化复杂为简单、化不规则为规则、化未知为已知、化陌生为熟悉”的转化思路，充分理解“转化”策略的本质，促进解决问题经验的内化和能力的提升。

（四）质疑创新，提出新的数学问题

《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出“四能”的目标，凸显“发现和提出问题”的重要性。但教学实践中，学生鲜有发现和提出问题的机会。即便有提出问题的要求，往往面对的是比较封闭的信息条件。尤其是低年级，不是“一共有多少”，就是“还剩多少”，缺乏挑战性，课堂只是“应景”，所谓提出问题也只不过是奉命行事。因此，解决问题教学应成为“培养学生提出问题能力”的重要载体，可以在“阅读理解”板块根据信息提出数学问题，也可以在“回顾与反思”板块提出新的问题。

首先，可以提供一个缺少明确数学任务或问题的情境，学生根据自己的知识经验，创造性地提出问题。如到菜场买青菜，干的12元1千克，喷水的10元1千克，卖菜的生意人总是不遗余力地推荐“买干的吧”。为什么总是鼓动顾客买干的青菜呢？干的青菜和喷水的青菜，到底哪种比较便宜？……真实情境容易唤醒学生经验，自然地生成问题。这样的问题具有生活性、开放性和综合性，需要学生整体策划解决方案，通过问询、实验等方式获得相关信息，运用数学知识方法加以解决。

其次，在解决一个问题后，鼓励学生提出新的问题。布朗和沃尔特（Brown and Walter）研究得到提出问题的方法——“否定假设法”，即学生选择某个信息加以改变来提出问题。如教学人教版三年级下册P72例8：“正方形地砖的边长是3分米，客厅长是6米，宽是3米。铺客厅地面一共要用多少块地砖？”解决问题后，教师及时鼓励学生提出疑惑及新的数学问题，于是就有了以下诸多成果。

（1）客厅长6米，宽3米，用来铺的地砖长3分米，宽2分米。一共要多少块地砖？（改变地砖的形状）

（2）客厅长7米，宽3米，用边长3分米的正方形地砖铺，一共要多少块地砖？（改变客厅的长和宽，不全是小正方形边长的倍数）

（3）一张卡纸长8分米，宽5分米，要剪成边长是8厘米的正方形卡片，最多可剪多少张？（改变现实情境，需要思考“大面积除以小面积”的合理性）

……

无疑，学生提出的都是好问题，问题具有实际意义，明确又颇具挑战性。

“回顾与反思”是数学解决问题的重要过程，既是对整个解题过程进行“元认知”评价，又是对解题后的延伸性讨论，是一种积极的探究思维活动，是评价学生解决问题能力水平的重要指标。

参考文献：

[1]丁国忠.构建完备“数学应用”体系   落实多维数学课程目标[J].课程·教材·教法，2016（2）：74-79.

[2]平国强. 良好的结构是数学问题解决能力的核心[J].小学数学教育，2018（9）：3-6.

（浙江省杭州市江干区教育发展研究院   310020）