利用模型思想构建反比例的意义林志辉

林志辉

反比例是什么？在人教版教学用书中是这样描述的：反比例是重要的数学模型，体现了基本的函数思想，在数学思想层面上对以前所学过的许多数学问题（例如总量不变的数学问题、几何中的等积变形）和数学规律（积的变化规律）等进行一般化和模型化，对学生代数思维的发展十分有益。但是学生学习反比例时往往学得不够好，有这样的尴尬现象：概念说得很溜，但具体判断时却无从下手。我们发现很多教师也慢慢开始注重在具体情境中理解反比例的意义并渗透函数思想，但是都没能从“模型”入手，那么我们是不是可以用模型思想构建反比例的意义？接下来笔者结合课堂实例简要阐述如下。

一、构建概念理解模型

反比例是重要的数学模型，体现了基本的函数思想。函数思想的本质在于建立和研究变量之间的对应关系，也就是一个量（应变量）随着另一个量（自变量）的变化而变化的一个数学模型。《数学课程标准》要求在具体情境中理解反比例的意义，因此，我们借助表格，结合具体情境让学生经历“立——破——立”的思维碰撞过程，帮助学生构建反比例的概念理解模型。

立：带着问题自学课本，怎样的两个量成反比例关系？自学后结合具体情境独立思考：A 表格中的两个量成反比例关系吗？小组交流判断，最后汇报判断。既培养学生的自学能力，又进行有的放矢的应用，初步构建反比例的意义：一增一减的变化趋势、乘积不变。

破：B 表格中的两个量，一个量变大，另一个量变小，总价始终保持不变（60 元），所以已花的钱和剩下的钱成反比例关系。通过判断，引发冲突，在辨析中明理。而有了和不变的反例，则更能凸显反比例的意义：一个量如果扩大两倍，另一个量就缩小二分之一，最终保持乘积不变。

立：此时表格C 的立就非常顺畅了，快速判断，凸显反比例的本质，一增一减中乘积始终保持不变。

在“立——破——立”的过程中，学生构建反比例概念理解模型。破为破中立，立为立中破；破中有立，立中有破。在破与立的思维碰撞中激发学生的兴趣，多角度、立体式地感知、触摸反比例的本质。

二、构建函数图象模型

小学生的逻辑思维能力比较弱，他们对抽象概念的理解基本上要借助感性的直观材料，没有直观基础的数学概念对于学生来说只是空中楼阁。所以，教学时要注意直观先行，应该将抽象的数学问题转化成易于学生理解的方式呈现出来。

因此，我们在学生建立反比例概念模型后，将反比例的图象也放入教学环节中，借助几何画板，在几何画板的动态演示中，数形结合，促进学生进一步感知反比例的意义。

1.出示表格：谁能快速判断表中的两个量成反比例关系吗？

2.成反比例的两个量的图象是什么形状呢？用手势表示出来。

3.教师利用几何画板动态演示反比例的图象。

借助几何画板课件，感受：（1）所需的时间越来越长，速度就会越来越小；（2）时间如果扩大两倍，速度就缩小二分之一；（3）有一个量即路程，大小始终保持不变，从而充分感受反比例的图象。数形结合的实质就是将反比例的数量关系和直观的反比例函数图象相联系，将抽象思维和形象思维有机结合，在坐标系中实现“数”与“形”的统一。

另外，结合正反比例的表格、图象、数量关系式，从不同的层次在速度、时间、路程这个具体情境中让学生更深入地去思考正、反比例的区别和联系。学生在对比辨析的过程中进一步明晰反比例的意义。

反比例的教学都是从具体的问题情境中入手的，也就是从特殊到一般学习反比例问题，但问题情境千差万别，容易干扰学生的注意力，而反比例的图象表征却始终保持了一致性，对学生理解反比例的本质起着“直击要害”的作用。表征是新知识与头脑中已有知识的映射和对应，“数”表征比“形”表征更抽象，“形”表征更加具体和直观，图形更贴近于客观世界，传递的信息更易被学生所认知。

三、构建练习推进模型

在小学数学课堂教学中，教师通过提出“大问题”，可以在一定程度上给学生留下独立思考以及主动探究的空间，使得学生在解决“大问题”的过程中逐渐学会思考、分析并解决问题，促进学生思维能力的发展。

因此，我们在设计练习“判断下面两个量是否成反比例关系，并说明理由”时，向学生抛出这样一个问题：房间的面积一定，正方形地砖边长和块数是否成反比例关系。这个问题具有挑战性，有一定的难度，但是难度并未超出学生的最近发展区，学生跳一跳可以够到。学优生的思维活跃，可以直接将文字转化成数量关系，进而做出判断。但是对于学习能力弱一些的学生来说，这时候他们就需要跳一跳了，因此我们给学生出示一个“跳板”，根据学生的思维特点向学生提供了半直观半抽象的表格，借助表格，学生进而理解当房间的面积一定时，正方形的地砖的边长和块数不成比例，正方形地砖面积和块数成反比例关系。

在课堂练习时抛出“大问题”，不局限学生的思维，通过思维的逐层推进，再现学生的思维路径，从而提升学生的思维水平。

四、构建课堂教学模型

在最后课堂回顾时，着重突出对学习方法的渗透。对比分类——对比判断——对比归纳——对比辨析，让学生感受到在整堂课的学习中，始终贯穿着对比分析的研究方法。

1.对比分类。

引导学生对《前测学习单》中的表格进行分类，在对比分类的过程中让学生初步探索并感悟成反比例的两个量的特征。

2.对比判断。

采用先自学再判断的方法。判断A、B、C 三张表格时，学生经历“立——破——立”这样一个思维碰撞的过程，在对比中明确成反比例关系的两个量之间的本质关系。

3.对比归纳。

学生在表A、C 呈现的两个具体情境中通过类比发现成反比例关系的两个量的本质属性，然后用自己的话进行归纳总结，从具体情境到抽象概括，构建反比例的数学模型。

4.对比辨析。

结合正、反比例的表格、图象、数量关系式，在速度、时间、路程这个具体情境中让学生更深入地去思考正、反比例的区别和联系，在对比辨析的过程中进一步明晰反比例的意义。

将对比分析的学习方法从这一课的学习推向一类课的学习，它既是数学课堂教学的一种模型，也是学生学习的一种模型。构建课堂教学模型，在教学中根据学生的思维特点逐步渗透模型思想，引导学生不断地感悟模型思想。