追根溯源，探求方程的真正意义———《方程的意义》案例分析

沈美莲

在教学《方程的意义》这一内容时，教师往往把教学的重点放在方程的定义与方程的判断上。这些内容是否真的是学生学习的重点与难点呢？为了解决这个疑惑，我们对120 名学生进行了学前调查，发现有近75%的学生能正确写出方程，且有近50%的学生能用“含有字母的等式叫方程”来描述方程的概念。

看来，对“什么是方程”大部分学生并没有困难。那么，“方程的意义”这一内容的学习重点究竟在哪里？或者说，学生学习《方程的意义》目的何在？张奠宙教授曾提出，“含有未知数的等式”其实是描述了方程的外部特征，方程的本质是为了求未知数，在已知数和未知数之间建立一种等式关系。那么，我们能否淡化方程的外在形式，突出方程的本质内涵？更具体地说，能否削弱对方程概念的形式化记忆环节，而加强学生运用方程表征和表达情境意义的经历和经验？我们在教学中进行了尝试。

环节一：前测引入，初步感知方程含义。

1.明确学习内容。

师：今天我们一起来认识方程。对于方程，你们想研究什么？

生：什么是方程？

生：方程到底表示什么意思？

生：方程有什么用？

（板书：“概念”“意义”“应用”）

师：这节课我们就来研究这些问题。

2.认识等式。

师：（展示前测作品）说说当时是怎么列的？

师：仔细观察这些式子，有什么相同的地方？

生：都是等式。

师：什么是等式？

生：用等号连起来的式子就是等式。

生：左右两边结果相等的式子就是等式。

小结：等式可以表示左右两边的结果是相等的。

【评析：前测的素材，既可以了解学生的学前知识基础，又可以作为新课的学习材料在课堂中呈现。本环节通过展示学生的前测作品，寻找式子的相同点来认识等式，初步感知等式左右相等的关系，为后续学习奠定基础。】

环节二：合作探究，深入理解方程内涵。

1.基于情境，构建等式的相等关系。

（1）初步感知相等关系。

提出问题：等式的左边表示什么？右边表示什么？接下来我们就一起来研究。

探究关系：从前测作品中选60×3=180，问：这个等式的左边求出了什么？等式的右边又在表示什么？

小结：等式的左边表示路程，右边也表示路程，表示同一段路程，显然相等。60×3=180 表示左右两边路程相等的关系。

（2）独立自主构建关系。

师：剩下的这些等式又表示怎样的一种相等关系呢？接下来，我们就要一起来研究。

活动建议：从剩下的等式中选两或三个研究；想一想表示怎样的相等关系，用文字记录在活动纸上。

（3）交流分享明确关系。

同桌交流：说一说，你选了哪个等式，表示怎样的相等关系；议一议，这样的表达合理吗？

全班分享：谁愿意和大家分享你的研究成果？

生1：80+70=100+50 表示左右两边质量相等的关系；80+x=100+50 表示左右两边质量相等的关系；180÷60=3 表示左右两边时间相等的关系；3x+15=75 表示左右两边总价相等的关系；75-15=3x 表示左右两边蛋糕价格相等的关系。

师：你们觉得他说得怎么样？对他写的相等关系有没有什么要问的？既然你们都没有问题，那我随便选一个，“80+x=100+50”相等关系是什么？

生2：我们可以回到天平去看。等号的左边表示两个砝码的质量，右边也是两个砝码的质量，因此它表示左右两边质量相等的关系。

【评析：学习材料的丰富多样利于学生从不同中找相同，形成对等式本质的概括。本环节提供的学习材料，有能直观体现方程模型的天平图，有能清晰看出量与量之间关系的线段图；有简单的数与数之间的关系，也有具体的生活情境。学生在分析不同表达、不同情境的图与式的过程中，进一步感知在具体情境中蕴含的相等关系，初步体会等式本质就是在表达等号左右两边数量相等的关系，为理解方程的本质奠定基础。】

2.借助分类，探究方程的本质含义。

（1）分类。

师：你们真了不起，找到了这些等式所表示的一种相等关系。请你再仔细观察一下这些等式，它们有什么不同的地方吗？你能把它们按一定的标准分分类吗？

生：两边都是算式的一类；一边是算式，一边是答案的一类。

生：我们按是不是含有未知数分，含有未知数的一类，没有未知数的一类。

（2）观察算式特征。

师：刚才同学们很厉害，分出了两类，一类是含有未知数的等式，另一类是不含未知数的等式，也就是都是已知数的等式。我们先来看右边这一类，仔细看一下，有什么想说的？

生：都是一些算式。

生：80、50、180 都是一些已知数。

师：是的，都是关于已知数的等式。关于已知数的等式，前面我们的学习中，最常遇到的就是算出一个算式的结果是多少。

（3）明确方程的特征。

师：上图左边这些等式有什么不同呢？这样的等式叫什么？

生：方程。

师：是的，像这样含有未知数的等式就是方程。那你觉得方程又表示怎样的一种相等关系？

生：方程表示已知数与未知数之间的相等关系。

【评析：本环节从分类活动引入，在分类中认识算式与方程的外在形式。同时，进一步分析算式表示“已知数与已知数的相等关系”，并迁移到方程表示“已知数与未知数之间的相等关系”。这样的过程，使学生在观察、比较、归纳中学会概括和抽象，关注了数学知识的实质理解，初步体会方程的本质内涵。】

3.运用模型，沟通等式之间的联系。

（1）完成第1 题，先想一想相等关系，再列一列方程。

（学生独立练习后交流反馈）

师：他列的是不是方程？你能结合刚才的研究来判断一下吗？说一说表示怎样的相等关系。

师：仔细观察，你发现了什么？有没有什么不一样的地方？

生：三个方程一样，但表示的意义不同。

生：第一个方程表示质量相等，第二个表示总价相等，第三个表示路程相等。

生：虽然三个方程表示的意义不同，但都表示已知数和未知数之间相等的关系。

（2）完成第2 题，先想一想相等关系，再列一列方程。

（学生独立练习后交流反馈）

师：你是怎么列出方程的？你能不能像刚才这样，用今天的研究来说明？

师：你们发现了什么？

生：这些方程都表示总价相等的关系。

生：这里的未知数表示的意义是不一样的，有的表示小熊的价格，有的表示洋娃娃的价格，有的表示小熊的个数。

生：虽然未知数表示不同的含义，但这几个方程都在表示小熊的价格+洋娃娃的价格=总价，基本关系式其实是一样的。

师：看来这几个方程虽然看起来不大一样，但都表示相同的结构，共用一个相等关系。

【评析：运用模型阶段，主要安排了两组练习，请学生在问题情境中，寻找已知与未知之间的内在联系，建立数量之间的相等关系，列出方程。这一过程，其实也是理解方程本质内涵的过程。同时，第一组练习是同一个方程表示不同的相等关系；第二组练习是不同的方程表示同一组相等关系。这样的练习设计，使学生经历相同中找不同、不同中找相同的辨析过程，突出了从生活情境到方程模型的建构过程，在比较中进一步明确方程的内涵。】

环节三：差异练习，进一步体会方程价值。

1.回顾与整理。

师：这节课学了什么？关于方程你又有什么新的了解？还有什么问题想问吗？

2.巩固和提高。

师：根据自己的情况，选择练习完成。

A. 刚才第一题练习有错的，先完成一星，再完成二星。

B. 刚才第一题练习全对的，直接完成二星，挑战三星。

★：看图，想相等关系，列出方程。

方程：___________

方程：_______________

★★根据信息想相等关系，列方程。

（1）哥哥今年12 岁，弟弟今年9 岁。

方程：___________

（2）《流浪星球》共180 页，迪迪看了2 天，每天看y 页，还剩20 页没看。

方程：___________

★★★根据方程想相等关系，并编出对应问题。

方程：360-3y=60

编题：___________

【评析：本环节在理解方程本质的基础上，安排了分层练习，根据学生前期学习情况选择适合的练习，使不同层次的学生都能在原有基础上进一步提升，满足了学生的个性化需求。同时，练习的设计从找实际问题中的相等关系列方程到根据方程想相等关系，赋予方程实际意义，丰富了方程的本质理解。】