一道轻杆问题的正确解法与其引发的思考

王文娟

(北京师范大学物理学系 北京 100875)

1 引言

物理学的研究，需要科学的方法作指导.学生在解决物理问题时，需要构建合理的物理模型，采用相关的物理方法，分析模型的物理运动过程.

轻杆模型是高中物理力学问题中的常见模型.现阶段的高中物理教学中，只讨论将物体简化成质点后的质点平动问题，暂不讨论转动问题.这使得高中阶段的绝大多数轻杆问题都对“轻杆”提出“忽略质量”的要求，使得杆的转动惯量恒为零，以期规避讨论杆的转动，便于高中学生求解[1].然而，多数教师、学生在求解轻杆问题时，由于习惯性地忽略轻杆的质量，忽视了轻杆可能存在的转动，甚至仅将这一模型视作质点平动问题进行求解，违背了这一模型的物理运动规律.

本文以2017年11月四川省绵阳市高三第一次诊断性考试(理科综合)第17题为例.通过与给出的标准答案对比，笔者认为该题选项C,D解析存在漏洞，不利于培养学生的物理思维.因此，本文将纠正其广为流传的错误解法，给出这一问题的正确解.

2 题目

【例题】如图1所示，光滑的小球A和B通过轻杆相连，靠在竖直墙和水平地面上，从图示位置由静止释放，则( )

A.轻杆对小球A始终不做功

B.轻杆对小球B做的总功为零

C.轻杆对小球A先做正功后做负功

D.轻杆对小球B先做正功后做负功

图1 例题题图

3 错解辨析

本题主要考察学生对受力分析、机械能守恒定律、运动学规律的应用能力.释放轻杆后，轻杆会顺势倒下.选项C,D的错解如下.

错解:当轻杆一直沿墙壁下滑时，A球速度沿y轴负向，B球速度沿x轴正向.将A,B两球速度分别分解为沿杆方向和垂直于杆方向，即

vA‖=vAcosθvA⊥=vAsinθ

vB‖=vBsinθvB⊥=vBcosθ

由于轻杆是刚性杆，不可伸缩，故沿杆方向两球共速，即vAcosθ=vBsinθ.则可知：当θ达到45°时，B的速度将减小，轻杆开始对其做负功；A的速度将增大，轻杆开始对其做正功.故C错误，D正确.

纵观错解，虽然巧妙运用了轻杆作为刚性物体的不可伸缩性，列出两球的速度关系式，看似严谨.但当θ达到45°时，只需保证vB

4 模型运动分析

轻杆对物体做功的正负发生改变，也即轻杆对物体的作用力T的方向反向.那么，轻杆做功正负变化的临界角是否存在呢？如何对两球的物理运动过程进行精确的描述呢？

对两个小球进行受力分析，如图2(a)所示.GA,GB为两球重力，T为杆对球的弹力，NA为墙面对A球的支持力，NB为地面对B球的支持力.当轻杆开始下滑后，θ角增大，轻杆A端沿墙面滑下，B端沿地面滑动，A球所受合力FA沿y轴方向，B球所受合力FB沿x轴方向.弹力T对A球做负功，对B球做正功，使vB持续增大.由

vAcosθ=vBsinθ

可得

vA=vBtanθ

即随着θ的增大，vA也持续增大.

图2 两小球受力分析

大胆假设临界角θ0存在.θ=θ0后，弹力T反向，如图2(b)所示，轻杆做功的正负也发生改变，T对A球开始做正功，对B球开始做负功，即可证明选项D正确.同时，FA将会有x轴正向分量，使A球在x轴正向、y轴负向都拥有速度，轻杆A端不再单纯沿墙下滑，而是离开墙面，支持力NA消失；FB将会拥有x轴负向分量，使B球在x平面上出现减速运动.

那么，只要能够直接证明弹力T的方向在轻杆下滑过程中可反向，或证明使弹力T反向的临界角θ0存在，即可证得，在轻杆下滑直至落地前的全过程中，vA一直增大，vB先增大后减小，在临界角处取得最大值；即可得出轻杆对两球做功正负的变化情况，最终得出题目选项C错误、选项D正确的结论.

5 正确解答

笔者将分别定性和定量分析.

图3 B球静止参考系中A球的合力与速度示意图

解法2(定量): 讨论简化情况.设A,B球质量为m，轻杆长l，初始时刻轻杆与墙壁夹角为α.

由机械能守恒定律，得

沿杆方向，杆长不伸缩

vAcosθ=vBsinθ

O′系中：A球速度

向心加速度

临界状态θ=θ0时，T=0，A球合力F′A=GA，故有

a′‖=gcosθ0

可得临界角

解法3(定量): 讨论简化情况.设A,B球质量为m，轻杆长为l，初始时刻轻杆与墙壁夹角α.

由机械能守恒定律，得

沿杆方向，杆长不伸缩

vAcosθ=vBsinθ

联立上述两式得

有

6 总结与展望

本题选项A,B较易判断.在考场上，考生只需正确分析模型运动，便可以通过排除法排除，在选项C,D中得出答案，足以应付考场作答.但如果对本题仅仅只是应付了事，不仔细分析模型的运动规律，对于学生物理核心素养的培养将弊大于利；本题错误解答的广为流传，也暴露了当下物理教学的部分问题，以下问题值得引起物理教育工作者的重视.

(1)“为解题而解题”，忽视核心素养的培养

物理核心素养，是学生在接受物理学习时，潜移默化形成的正确价值观念、必备品格和关键能力[2].以本题为例，错解虽然巧妙运用了轻杆的速度关系，但却忽视了运动状态发生改变的原因——力，忽视了物理学的这一支柱，完全没有对系统进行受力分析，进而导致错解的发生.在分析任何物体的运动状态前，我们都需要仔细分析物体的受力情况.在高中物理简化后的质点运动学问题中，我们只需要分析力的大小与方向，就能判断质点的平动是否发生变化；但在真实的物理场景中，受力分析变得更为重要：我们不仅需要判断物体是否会发生平动，还需要分析受力点的位置，判断物体是否受力矩影响，发生转动[1].受力分析在物理学中的地位可见一斑.作为教育工作者，我们有义务培养学生正确的物理观念，不能让错解带偏学生解决物理问题的思维方式.

(2)局限于高中课本，较少主动探究模型背后的物理本质

新课标指出，通过高中物理课程的学习，学生应能运用科学思维与方法，建构合适的物理模型，从定性和定量两个方面对模型的物理问题进行推理，找到规律并得出结论[2].本题的轻杆下滑模型是一个非常贴近实际生活的模型.生活中与此最接近的模型，便是将一只笔用同样方式立在桌与墙之间，观察笔的自然下滑过程.分析时，可将笔视作一个质量均匀分布的长条刚体，进而可以研究笔的平动与转动.这是一个带领学生主动跳出高中物理课本范畴、了解刚体转动问题的好机会，但碍于高中教学环境所限，绝大多数教师并未将此纳入教学环节，错过了增长学生见识的时机.教师有义务在完成规定的教学任务的同时，带领学生进行科学探究活动，拓宽学生的知识面，让学生的物理素养得到进一步的提升.