使用费米问题来引入数学建模

【摘 要】 数学建模作为一种问题解决方式，建立起数学与现实世界之间沟通的桥梁.目前学校教育中的数学建模经过简化无法使学生经历完整的建模过程，其建模能力不能得到有效提高.费米问题需要学生对涉及估算的现实生活进行简化和数学化，且在通常情况下没有特定的解决方案，有助于培养学生数学建模能力，并给数学建模教学提供了新的思路.

【关键词】 费米问题;数学建模教学;估算

近年来，人们愈发关注在课堂上引入涉及数学建模的各种活动.尽管应用和建模在大多数国家的课堂教学中比过去起着更重要的作用，但教育理念仍未统一，创新课程与日常教学实践之间存在着很大间隙[1].数学建模作为沟通数学世界与现实世界之间的桥梁，而现实世界的变化多端也意味着学校的建模教学不能墨守成规，应在寻求多角度引入的基础上不断推动建模的多样化与创新化教学.

我国于2003年颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》[2]中就突出强调了对学生数学建模能力培养的重要性，并且首次给出了数学建模过程的框架图.最新颁布的《普通高中数学课程标准（2017年版）》（下称《课标2017》）提出了数学学科六大核心素养分别为：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析[3].其中，数学建模作为六大核心素养之一，并且同时与函数、几何与代数、概率与统计作为四条主线贯穿高中数学课程.由此可见，数学建模在我国课程标准中的地位之高，其对学生数学能力培养的重要性也不言而喻.

《课标2017》中明确指出要让学生经历数学建模的整个过程，即在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题.但在目前的课堂教学中，学生往往根据教师已经提供好的问题、数据进行计算求解，跳过了完整建模必须经历的环节.这种情况一方面是由于学生目前的课业负担较重没有足够的时间去体验经历建模的完整过程，另一方面也由于教师缺乏足够的建模教学经验，不能提供切合的现实情境问题去帮助学生真正地开展数学建模活动.长此以往，学生也就无法感受数学与现实间的联系，无法提升数学建模这一重要能力.

本文将从费米问题入手，研究费米问题的良好特性以及学生在解决费米问题中所经历的数学建模过程，探讨在目前的课堂中使用费米问题来引入数学建模的重要影响.同时，也可将使用费米问题来引入数学建模看作是对当前数学建模常规化教学的一种推动与创新.

1数学建模

在数学教育中，有许多方法可以使用、研究或描述数學建模.建模过程通常始于实际问题.在对现实世界建模时，我们不断在现实与数学之间进行切换.通过简化，构造和理想化此问题，可以获得一个真实的模型[4].学者Lesh和Harel提出数学模型的定义[5]，他们认为模型是用于构建、描述或解释其他系统的概念系统，包括一个概念系统及其相应的过程.学者Borromeo Ferri将数学建模表示为整个问题解决过程（迭代和/或循环），从六个阶段（实际情境、情境的心理表征、实际模型、数学模型、数学结果、实际结果）和转换过程（理解任务、简化/建构任务、数学化、数学工作、解释和验证）来描述建模过程，如图1所展示[6].对于数学建模中的“迭代和循环”，我们可以理解为，建模的本质事实上是循环的，创建一个以抽象方式描述或表示某种现象或现实的数学模型是一个复杂的过程，该过程在不同的迭代中重复，这些迭代改进了先前得到的模型和解法，从而成为适应解决每个问题的需要.当我们在更详细地划分有关复杂的问题解决过程时，可以使用由Maaβ提出的“能力”的概念[4]，将建模循环划分为子过程或子活动.在本研究中，就将利用六个建模子活动来分析学生在建模过程中的表现.

2 费米问题

费米问题一词最早源于1938年诺贝尔物理学奖得主Enrico Fermi.他提出了关于费米问题的经典例子，即芝加哥有多少个钢琴调音器？费米问题的定义如下：“开放的、非标准的问题，要求学生对问题情境做出假设，并在解题之前估算相关数值，这通常是一些简单的计算[7].” Efthimiou和Llewellyn从其特殊的表述中描述了费米问题[8]，因为它总是看似分散的，且其能提供的具体信息不多，并且很少有相关特点来指引如何得到解决方案.从这些对费米问题的表述中可以看到，所谓的费米问题是一种特定类型的活动，没有对所需解决的问题提供完整的信息，需要对涉及估算的现实生活进行简化以及做出相应的数学化，且在通常情况下没有特定的解决方案.为了对所呈现的情形进行详细分析，我们需要将费米问题分解为能得出原始问题答案的更简单的问题.

rlebck指出[9]，研究费米问题可能有助于将建模引入课堂的原因如下：（1）现实的费米问题易于被不同教育水平的学生们所接受，并且学生不需要先前学习一些特殊的数学知识;（2）促使学生构建与问题相关的信息;（3）现实的费米问题要求学生制定针对具体情境的解决策略;（4）由于现实中的费米问题不提供数字数据，所以学生必须自己估算几个数据;（5）促进学生互相讨论.

正是根据上述这些原因，以及费米问题在我国目前数学建模教学中涉及较少，本文将介绍学生在解决费米问题的过程来说明使用费米问题引入数学建模的有效性.

3 研究过程——“帝国大厦问题”[10]

学者Sriraman和Lesh曾就有关估算和费米问题中指出[11]“估算活动可以作为引发数学建模的一种方式”.学生在解决与现实相关的费米问题时，通常需要根据现实情境做出估算判断，不同的学生可能会产生不同的解决方案，这是极富有个人特色的，而通常情况下这样的解决过程是与前文提及的建模循环过程相吻合.也正由于解决费米问题并不需要学生具有丰富的先前建模经验，不同水平的学生可以在不同的抽象层面上建立数学模型来解释费米问题的实际情境，这为培养学生数学建模能力提供了良好的机会.因此，这促使我们考虑将费米问题引入数学建模教学，利用费米问题来分析学生建模过程.下面将通过一个费米问题，来展现和分析学生的解决过程.

C：嗯，有人坐过FREE FALL（是瑞典斯德哥尔摩游乐园格隆纳隆德的一个景点）吗？

A：（与B异口同声）没有.

C：我在想.嗯，它高90米的话，需要花费多长时间到达那？我认为需要15，20-25秒，那是90米的情况.

B：是的.

C：它（帝国大厦）一定高于200米.

研究分析 從上述过程可以看到，费米问题是在学校教育中引入数学建模的一种很好方式.所有建模子活动都在解决费米问题的过程中得到了丰富的展现，与此同时也辩证地推进了任务解决方案的发展.在解决问题的过程中，小组动态对于不同子活动的发展和激活至关重要.当面对不同的信念和观点时，是小组中的讨论和互动驱动并形成了建模过程.

使用现实的费米问题的关键原因之一是它可以促进小组就问题的设定和解决方案进行讨论.这些期望都在研究中得到了证实，但是研究也表明了，这类问题在一定程度上会使学生的注意力不再集中在数学本身，并且学生在讨论如何估计、构造问题时走向了错误的解题方向.由此看来，问题的现实特征就成为了关键.尽管在此过程中，对数学的要求只是处于非常基础的水平，但是可以通过明确要求一个公式来增强对数学的要求，这个公式可以是与大楼高度和使用电梯或楼梯上下耗费时间相关.4 总结与反思

回顾学生解决“帝国大厦”高度的过程，我们不难发现，当学生参与解决现实的费米问题时，他们可以完整地经历数学建模的整个过程，并且这对于学生是否具有充足的建模经验并无太高要求，换言之，费米问题很适合作为一种数学建模教学的引入方式.现实的费米问题来源于生活，贴近生活实际，学生在解决时需要主动对问题进行背景化并适当的引入建模元素.此外，费米问题所提供的条件和所需数据都是不充分、不完整的，而其解决方案更不是特定的、常规的，这一切问题都有待于学生亲自去进行情境分析和数据挖掘.这种开放式的建模任务在一定程度上给予了学生在平时课堂中无法得到的建模能力训练，并由此也推动了学生积极活跃地参与数学建模活动，从而产生广泛的解决策略，促进学生数学建模能力的发展.当学生处理涉及现实生活情境或现象的情景化问题时，所有的建模能力都在建模过程中被激活了.

数学建模教育需要分阶段、有系统并持之以恒地开展，同时也要形式灵活，密切联系生产生活和社会发展的实际，用发展的眼光和热情来调动学生的兴趣[12].也正因此，结合我国目前中小学课堂中的数学建模教学特点，提出了以下建议：

首先，选择并设计与生活实际相关的问题作为建模任务，减少刻意改编和人为加工.目前中小学生所能接触到的与数学建模相关的问题基本是源自课本中或试卷的数学应用题，这一方面局限了学生对于数学建模的认知，另一方面也限制了学生的建模能力的发展.因为数学建模更强调的是运用所学知识来解决生活实际问题，此过程中的知识输入和策略输出都是动态发展的，并不同于一般的求解应用题得到明确答案的过程.学校中所提供的数学建模问题大多是具有明确条件和充足数据，符合常规的解决思路与方法，而费米问题则打破了这样的规则，它需要学生根据个人经验与实际情境收集数据，建立模型，通常情况下还需要经过学生之间的协作与交流才能完成最终的任务.由此，教师应该在教学过程中，减少对所谓建模性质的数学应用题的使用，增加一些可以促使学生主动收集资料，自主选择建模方案的实际问题.

其次，教师应多鼓励学生进行自主性探究学习、小组合作交流，减少传统讲授环节.中小学生由于课程压力较大，时间紧迫，无法有充足的课余时间来进行自主的建模探究学习，取而代之的是教师在课堂上直接讲解问题，满足于求得最终答案即可，极大地忽略了对学生建模能力的培养.有效培养学生数学建模能力的方法就是让学生经历建模的整个过程，让学生有丰富的建模体验和感悟，而不是追求对特定问题的解答即可.当学生能够自己对现实问题进行分析和数学化，将数学知识转化为解决策略，其能力才可以得到提升.费米问题的解决过程，不仅是学生自主探究学习的一种体现，也是小组成员合作交流的展示.学生自己对问题的信息作出假设补充，是利用了自己的知识与经验，而成员间对所设定的数据相互质疑、交流想法，也促进了学生学会寻找间接证据支撑自己的想法、学会多角度看待问题.这些都是数学建模所期望学生最终可以具备的能力，教师的传统讲授则剥夺了这样一种能力的形成环节.

数学建模已经成为我国中小学数学教育中的一个重要组成部分，考虑数学建模教学的未来发展，我们应不断借鉴国际上的优秀做法，推动我国数学建模教学的进一步创新.

参考文献

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Blum W. ICMI study 14： Applications and modelling in mathematics education—discussion document[J]. Educational Studies in Mathematics，2003，51，149-171.

[2] 黄健，鲁小莉，王鸯雨，徐斌艳.20世纪以来中国数学课程标准中数学建模内涵的发展[J]. 数学教育学报，2019，28（03）：18-23+41.

[3] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2017：4-7.

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[5] Lesh R，Harel G. Problem solving，modeling，and local conceptual development[J]. Mathe-matical Thinking and Learning，2003 ，5（2），157-189.

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[9] César Gallart，Irene Ferrando，Lluís M. García-Raff，LluísAlbarracín，and Núria Gorgorió. Design and implementation of a tool for analysing student products when they solve Fermi problems[M]∥ Stillman G A，Wemer Blum W，Kaiser G. Mathematical Modelling and Applications： Crossing and Researching Boundaries in Mathematics Education.Seitzerland：Springer，2017：265-275.

[10] rlebck J B，Bergsten C. On the Use of Realistic Fermi Problems in Introducing Mathematical Modelling in Upper Secondary Mathematics[M]∥ Lesh R，Galbraith P，Haines C，Hurford A. Modeling Students' Mathematical Modeling Competencies. International Perspectives on the Teaching and Learning of Mathematical Modelling. Springer，Dordrecht ，2013：597-609.

[11] Sriraman B，Lesh R. Modeling conceptions revisited[J]. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik，2006，38（3），248-254.

[12] 張平文.数学建模进入课堂已经成为世界教育的潮流[J].数学教育学报，2017，26（06）：6-7.

作者简介

朱雨姝（1996—），女，江苏淮安人，硕士研究生，研究方向为数学教育（指导教师：周超）.于2018年荣获苏州大学“校二等奖学金”，2019年荣获苏州大学“校三等奖学金”.