指向高中数学核心素养下的数学概念教学

王礼勇　邵达　陈相友　胡浩鑫

【摘 要】 教师先让学生充分感受现实世界中周而复始的现象，学生自主抽象出周期函数的定义，并运用逻辑推理辨析概念，教师进一步挖掘定义内涵与外延，帮助学生建构起对周期概念的认识.

【关键词】 概念教学;核心素养;周期性;周而复始;数学抽象;逻辑推理

《普通高中数学课程标准》中指出：“高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质.” [1]如何上好一堂指向高中数学核心素养下的数学概念教学课，让学生真正理解概念的内涵、研究对象的要素，引导学生把握数学内容的本质，引发很多一线教师的思考.

近期，笔者有幸代表浙江省参加了第九届全国高中青年数学教师优秀课观摩与展示活动，这次参赛的课题是中国教育学会中学数学教学专业委员会自选课题“函数的周期性”，它是以人教A版必修4第一章第四节为蓝本，本节课的学习从周期性现象出发，开启数学学习之旅.笔者对于“函数的周期性”这节课的教学策略进行探讨.

1 教学实践

1.1 情境引入

问题1 现实生活中有哪些周而复始的现象？

数学源于生活，而又高于生活.这节课的引入就从同学们身边熟悉的课程表开始，用心观察，生活中处处有数学.为了让学生充分感受周而复始的现象，在课前安排了數学学习小组查阅相关资料，在课内安排了两个学生活动：学生举例;数学学习小组代表上台进行展示分享.让学生们了解到大到天体的运行，小到质点的运动，生活、物理、数学中存在大量周而复始的现象.

地球自转引起的昼夜交替变化;月亮圆缺变化，即朔—上弦—望—下弦—朔;潮汐变化，即海水在月球和太阳引力作用下发生的周期性涨落现象;物体做匀速圆周运动时位置变化的周期性;做简谐运动的物体的位移变化;交变电流随时间的变化情况，电流值也是重复出现的.

地球绕日公转轨道是一个接近正圆的椭圆，每经过一年地球围绕着太阳转一周.在一年内，日地距离都在不停地变化中.无论从哪个时刻t算起，经过一年时间，地球又回到原来的位置，所以地球与太阳的距离是周而复始变化的.

循环小数：29=0.2·，39=0.3·，299=0.0·2·，2399=0.2·3·，如2399，小数点后2，3依次重复出现.

水车上A点到水面的距离为y，假设水车5min转一圈，那么y的值每经过5min就会重复出现，因此距离y随时间的变化规律是周而复始变化的.

1.2 概念生成

问题2 如何用数学的方法来刻画现实世界中周而复始的现象？

在小组代表所举的例子中，选取了三个典型的例子：天体的例子，数学中的例子，生活中的例子.

如何进行数学抽象？

随着时间的变化，地球与太阳的距离（日地距离）发生变化.在任何一个确定的时刻t，日地距离s是唯一确定的，因此距离s是关于时间t的函数.在现实世界中，借助变量观点，构造函数s=f（t），进一步借助函数关系式刻画周而复始的变化规律.地球每经过12个月，又回到原来的位置，在关系式上的表达：f（t+12）=f（t）.

小数点后的第n位的数字作为这个函数的函数值，记作y=f（n）.可写成分段函数的形式，f（n）=2，n=2k-1，3，n=2k，k∈N.用函数的关系式来刻画循环小数出现周而复始的现象，即f（n+2）=f（n）.循环小数的循环节的长度为2，自变量每增加2，函数值会重复出现.

水车上A点到水面的距离呈现周而复始的现象，这给我们似曾相识的感觉，当初我们定义正弦函数，就是类似这个背景.正弦函数是以角x为变量，角的终边与单位圆的交点纵坐标为函数值的函数.选用有向线段MP表示正弦线.

角逆时针方向转动一圈，正弦函数值重复出现，即自变量增加2π，正弦函数值会重复出现，即正弦线的长度和符号均没有发生变化.用式子来描述，sin（x+2π）=sinx，x∈R，这也是正弦函数的诱导公式.可以抽象成一般函数的形式：f（x+2π）=f（x）.角继续逆时针方向转动或者顺时针方向转动，正弦函数值重复出现，当自变量的值每增加2π的整数倍时，正弦值会重复出现，即sin（x+2kπ）=sinx，x∈R.可以抽象成一般函数的形式：f（x+2kπ）=f（x）.

对于现实世界中的周而复始现象进行数学抽象，与学生共同构造函数，进一步地利用函数关系式，刻画周而复始的现象.在这一过程中，需要学生用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型，培养学生数学建模素养.

问题3 你能否给出周期函数的定义？

一般地，对于函数f（x），如果存在一个T，满足f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，T叫做这个函数的周期.此时学生形成的定义并不完善，与学生共同建构定义.

1.3 概念完善

问题4 你认为这个函数的周期T具有怎样的要求？

T是非零常数，若T为零，任何一个函数都是周期函数，如果所有函数都是周期函数，研究周期函数失去意义.因此T>0或者T<0，T是常数，不随x的变化而变化.

问题5 对于f（x+T）=f（x）中的x有无要求，是否只要一个x满足即可？是否无数个x满足即可？

举一个反例即可.回到熟悉的正弦函数y=sinx，x=π6，角x逆时针方向转动23π，得到关系式fx+23π=f（x），我们知道对于x=π4，fx+23π≠f（x），因此23π并不是函数的周期.同理x=π6+2kπ，无数个x满足fx+23π=f（x），23π也不是函数的周期.

与学生共同探究常数T的非零性，变量的任意性，至此形成了周期函数的完整定义：一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.

为了进一步完善对概念的认识，带领学生研究周期函数对于定义域具有怎样的要求.

辨析1 函数f（x）=sinx，x∈[0，4π]是周期函数吗？函数f（x）=sinx，x∈[0，6π]是周期函数吗？函数f（x）=sinx，x∈[0，+SymboleB@）是周期函数吗？

不是.假设存在非零常数T0是这个函数的周期，若T0>0，由周期函数定义知f（x+T0）=f（x），当x=4π时，f（4π+T0）=f（4π），此时f（4π+T0）没有定义.同理T0<0，也不符合.因此函数f（x）=sinx，x∈[0，4π]不是周期函数.

同理，函数f（x）=sinx，x∈[0，6π]不是周期函数.

f（x）=sinx，x∈[0，+∞），此时对于定义域内的每一个x，都有f（x+2π）=f（x）.2kπ是这个函数的周期.

问题6 周期函数，对于定义域应该具有怎样的要求？为什么？

若函数f（x）是一个周期函数，f（x+T）=f（x），要使得代数式有意义，x∈D（D为函数的定义域），x+T∈D，x+2T∈D，…x+nT∈D（n∈N）.若周期T>0，定义域的右端是无界的;若周期T<0，定义域的左端是无界的.说明函数的定义域至少有一端是無界的.

仅从形式化的定义中，学生很难形成对周期函数稳定而又清晰的理解.从学生熟悉的正弦函数为例，改变函数的定义域，判断函数是否为周期函数，进一步加深对周期函数概念的理解，为今后判断函数是否为周期函数提供了视角：研究函数定义域先行，周期函数的定义域至少有一端是无界的.

为了进一步巩固所学的概念，与学生进行共同辨析.

辨析2 函数f（x）=sinx，x≠0是周期函数吗？若是，请指出函数的周期.

假设存在非零常数T0是这个函数的周期，由周期函数定义知f（x+T0）=f（x），即f（-T0）=f（-T0+T0），此时f（-T0+T0）没有定义，因此函数f（x）=sinx，x≠0不是周期函数.我们借助数进行严格说明，也可以借助形进行几何直观感知.

问题7 对于这个正弦函数f（x）=sinx，x≠0的图象，能否继续挖去一些点，使得这个函数成为周期函数？

f（x）=sinx，x≠kπ，k∈Z，此时挖去正弦函数与x轴的交点，此时对于定义域内的每一个x，都有f（x+2π）=f（x）.2kπ（k∈Z）是这个函数的周期.

追问 隐去正弦函数的图象，留下原先打算挖掉的点，此时函数还是周期函数吗？

f（x）=0，x=kπ，k∈Z，此时对于定义域内的每一个x，都有f（x+π）=f（x）. kπ（k∈Z）是这个函数的周期.

正例与反例的运用，通过假设、证明等过程，学生对周期函数的概念认识将变得更加深刻，从而获得有意义的学习.再对正弦函数图象进行“修补”，建立数与形的联系，利用图形判断数学问题，进一步培养学生的直观想象素养.

到目前为止，学生已经基本掌握了周期函数的概念，为了进一步检验掌握情况，与学生辨析分段函数的周期性问题.

辨析3 请判断狄利克雷函数D（x）=1，当x是有理数，0，当x是无理数，是否为周期函数，并说明理由.

设r是任意一个非零有理数，当x是有理数时，x+r也是有理数，D（x+r）=D（x）=1;当x是无理数时，x+r也是无理数，D（x+r）=D（x）=0，因此两种情况下都有D（x+r）=D（x），故D（x）是周期函数，任何非零有理数都是它的周期.

设s是任意一个无理数，当x是有理数时，x+s是无理数，D（x+s）=0，D（x）=1，D（x+s）≠D（x），因此无理数s不是函数D（x）的周期.

学生习惯运用几何直观进行判断函数是否为周期函数，狄利克雷函数无法做出精确图象，要进一步回归周期函数的定义，需要借助代数严格说明.

与学生共同学习最小正周期的定义：如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个正数叫做f（x）的最小正周期.问题8 函数的最小正周期定义中去掉“如果”会怎么样？

去掉“如果”，意味着周期函数的所有周期中必定存在一个最小的正数，换句话说，周期函数的所有周期中不可能不存在一个最小的正数.

问题9 你能否举出一个函数是周期函数，但它没有最小正周期？

学生回答1 D（x）=1，当x是有理数，0，当x是无理数，是周期函数，所有的非零有理数都是它的周期，没有最小正数，故D（x）没有最小正周期.

学生回答2 常值函数f（x）=c（c为常数，x∈R）是周期函数，所有的非零实数都是它的周期，没有最小正数，所以常值函数没有最小正周期.

学生回答3 f（x）=sinx，x∈（-∞，0），所有的-2kπ（k∈N）是函数的周期，而最小正数是不存在的，所以这个函数没有最小正周期.

1.4 概念应用

问题10 周期函数f（x）=sinx（x∈R）的最小正周期是什么？为什么？

学生回答1 以下用反证法.假设存在0

学生回答2 以下用反证法.假设存在0

在人教A版的教材中，2π是正弦函数和余弦函数的最小正周期，并没有给出证明.教参中专门说到：对于学有余力的同学，可以尝试证明2π是正弦函数和余弦函数的最小正周期.本次授课的对象程度较好，采用有一定难度的反证法，不仅对掌握反证法的思想有好处，也能加深对周期函数概念的理解，因此让学生尝试证明.

例 求下列函数的周期：

（1）f（x）=sin2x; （2）g（x）=2sin12x-π6，x∈R.

问题11 你认为上述求函数y=Asin（ωx+φ）; y=Acos（ωx+φ）周期的方法能否推广到求一般周期函数的周期上去？即命题：“如果函数y=f（x）的周期是T，那么函数y=f（ωx）的周期是Tω（ω>0）”是否成立？

设非零常数T0为f（ωx）的周期，则f（ω（x+T0））=f（x），即f（ωx+ωT0）=f（ωx），，对任意实数x都成立.也就是f（u+T）=f

（u），对任意实数u都成立，其中u=ωx.由于f（u）的最小正周期为T，可知ωT0=T，即T0=Tω，所以函数y=f（ωx）的周期是Tω（ω>0）.

在教材例2后，教科书设置了一个“思考”，让学生归纳正弦型和余弦型函数的周期与解析式中的哪些量有关.教材的“探究与发现”里，给出了代数解释，并提出一个“思考”，引导学生将三角函数得到的结论推广到一般函数.运用归纳，从特殊函数到一般函数，理解事物之间的关联，把握知识结构，培养学生逻辑推理能力.

1.5 课堂小结

这节课我们从现实生活中周而复始的现象抽象出函数周期性的概念，同时我们不断围绕函数的周期性概念，思辨了函数的周期性问题，这正如一位数学家所说的：

2 教学思考

2.1 数学抽象与逻辑推理紧密结合

指向高中数学核心素养下的概念教学，教师应该努力揭示数学概念的本质，让学生主动经历概念完整的抽象过程：观察事物、想象结构、分析要素、归纳特征，并将抽象出的特征概括到同一类事物中去.本节课紧扣教学参考的要求，通过学生举例和数学学习小组课前查阅，让学生们充分感受现实世界中周而复始的现象，感受数学来源于生活;引导学生进行数学建模，得到事物的共同特征，并对这一类问题进行数学抽象，抽象出周期函数的本质属性;把数学抽象和直观想象的主动权交给学生，让学生初步建立概念，进一步完善概念;并运用逻辑推理进行概念的辨析，学生对概念的认识将变得稳定而又清晰.在运用周期函数这一概念解决问题时，逐步养成学生能论证命题，掌握证明的基本形式.因此，本节课中学生积累了从具体到抽象的活动经验：从周而复始的现象到周期函数，再从周期函数推广到一般函数.本节课合理地将数学抽象与逻辑推理能力的培养融入到课堂教学之中，更是设置了一些学生自主思考，学生展示等交流平台，充分挖掘了本节课的思维深度与广度.

2.2 问题探究与信息技术有机结合

波利亚说过：“学习任何知识的最佳途径都是由自己去发现，因为这种发现理解最深刻，也最容易掌握其内在规律、性质和联系” [2].指向高中数学核心素养下的概念教学，应确立学生在学习中的主体地位，倡导自主学生、合作学习、探究体验式学习.因此，本节课特别注意以学生为主体，让学生举例、学习小组代表展示（课前查阅周而复始现象的资料），在利用代数式刻画周而复始的变化规律时，借助几何画板，回顾正弦函数的定义，充分体会蕴含在其中的数形结合的思想方法;不断地设置问题串，辨析函数是否为周期函数，又借助几何画板直观感知，进一步加深对周期函数这一概念的认识;运用高拍仪展示学生思考成果，充分展示学生的思维过程，又在不断的设问中，对概念的认识进一步升华;在概念辨析时，运用正例与反例，借助几何直观与代数论证，给予思想方法的指导.问题探究与信息技术有机融合，可以更加深刻地理解和构建概念、落实概念的相关元素、运用概念解決同类事物，帮助学生更好地揭示数学本质，逐步提升数学核心素养和思维水平.

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[M]. 北京：人民教育出版社，2017.

[2] 郭秋秀.怎样让学生自己发现问题[J].吉林教育（教研），2011 （4）.

作者简介

王礼勇（1987—），男，中教一级，主要从事数学教育与数学解题研究，先后获得2017年浙江省高中数学优质课一等奖、第九届全国高中数学青年教师优秀课展示奖.