2020年台湾地区学测（数学）选择题赏析

钟劲松

1 前言

台湾地区学科能力测试（简称“学测”）包括国文、英文、数学、社会、自然五科，旨在测验考生是否具有接受大学教育的基本学科能力，是大学校系初步筛选学生的门槛. 2020年台湾地区数学测试考试共20道题，其中单选题7道（试题1-7），多选题6道（试题8-13），选填题7道.考试时间共100分钟，满分100分.本文对台湾地区学测考试（数学）的选择题进行解析和点评，并对其特点进行总结，旨在让读者大致了解台湾地区学测考试的主要内容和特点.

2 试题赏析

试题1 已知两个直角三角形三边长分别为3、4、5，5、12、13，α，β分别为它们的一角，如图1所示. 试选出正确的选项（）.

解析 根据图形可知，sinα=35，sinβ=513，因为sin30°=12，又因为513<12<35，所以sinβ

点评 本题考查了正弦在直角三角形中的定义，

根据正弦函数y=sinx，x∈0，π2的单调性

比较数值大小即可得到答案，属于一道较容易题.

试题2 空间中有相异四点A，B，C，D，已知内积AB·AC=AB·AD.试选出正确的选项.

（1）AB·CD=0;（2）AC=AD;（3）AB与CD平行;（4）AD·BC=0;（5）A，B，C，D四点在同一平面上.

解析 根据题意可知AB·AC=AB·AD，所以

AB·AC-AB·AD=0AB·AC-AD=0AB·CD=0，所以选项（1）正确，故选（1）.

点评 本题无需计算出数量积的具体数值，只需要稍作变形即可得到答案.实际上，根据AB·AC=AB·AD可知AC，AD在AB上的投影相等，且C，D是不同的两点，所以有AB·CD=0.

试题3 如图2所示，O为正六边形之中心.试问下列哪个向量的终点P落在△ODE内部（不含边界）？

解析 要使终点P在△ODE内（不含边界），不仅要结果向量的方向在边界内，而且还要使结果向量的终点落在△ODE区域内.据向量加法的几何意义，选项（1）对应的点P在射线OD上，且OP=OD=OC+OE，

同理，根据向量加法的几何意义知

选项（3）（4）（5）对应的点P（OP的方向）均不在△ODE区域内，所以选项（2）正确.

点评 本题考查了向量的有关运算（向量的加法和数乘），本题不需要设坐标进行代数运算，只需要了解和理解向量加法的几何意义即可.本题以特殊的平面图形——正六边形为载体，从形的方面考查对向量加法几何意义本质的理解.

试题4 令I=1001，A=1134，B=I+A+A-1，试选出代表BA的选项.

（1）1001;（2）6006;（3）4-1-31;（4）1134;（5）661824.

解析 因为B=I+A+A-1，等式两边同乘以矩阵A可得.

因为BA=IA+A2+A-1A=10011134+11342+1001=661824，所以BA=661824，故选（5）.

点评 本题考查了矩阵的加法和乘法运算，特别注意的是运算技巧，不要首先将矩陣B算出来，再与矩阵A相乘，这样比较复杂. 同样也不要将计算矩阵BA的值算成计算矩阵AB的值.一般情况下，矩阵的乘法不满足交换律.实际上，上面的计算过程还可以简化为BA=IA+A2+A-1A=IA+A2+I=（I+A）A+I，同样可以得到正确的结果.

试题5 试问数线上有多少个整数点与101的距离小于5，但与点38的距离大于3？

（1）1个;（2）4个;（3）6个;（4）8个;（5）10个.

解析 因为10<101<11，所以数线上与101小于5的整数点有x=6，7，8，9，10，11，12，14，15，共10个;又因为6<38<7，所以数线上到38的距离大于3的整数点满足x10或x≤3. 所以，满足与101的距离小于5，且与点38的距离大于3的整数点有x=10，11，12，13，14，15，共6个，故选（3）.

点评 本题考查了绝对值不等式的解法，将同时满足两个条件的整数点在数线（即数轴）上表示出来，不难得出共6个整数点满足条件.实质上，本题考查了数形结合的思想和估算的能力，考生若能运用数形结合的思想，并在估算方面能力较强，不需要运算就可以又快又准地得出答案.

试题6 连续投掷一公正骰子两次，设出现的点数依序为a，b.试问发生log（a2）+logb>1的概率为多少？

（1）13;（2）12;（3）23;（4）34;（5）56.

解析 投掷一公正骰子两次，共有6×6=36种可能结果.

又因为loga2+logb>1，所以a2b>10.

我们先考虑a2b≤10的情况：

当a=1时，b=1，2，3，4，5，6，共6种结果;

当a=2时，b=1，2，共2种结果;

当a=3时，b=1，共1种结果.

所以，发生log（a2）+logb>1的概率p=36-（6+2+1）36=2736=34，故选（4）.

点评 本题为一道求古典概率题，从正面求满足a2b>10的整数对（a，b）的个数较多，所以从反面求a2b≤10的整数对（a，b）的个数（共6+2+1=9（个）），体现了处理数学问题时正难则反的思想.本题将求古典概率与对数函数的变形交汇，在知识的交汇处命题.值得注意的是这里loga表示以10为底a的对数，等同于大陆教材中常用符号lga.

试题7 坐标平面上，函数图形y=-3x3上有两点P，Q到原点距离皆为1.已知点P坐标为cosθ，sinθ，试问点Q坐标为？

（1）（cos（-θ），sin（-θ））;（2）（-cosθ，sinθ）;（3）（cos（-θ），-sinθ）;（4）（-cosθ，sin（-θ））;（5）（cosθ，-sinθ）.

解析 因为y=-3x3是奇函数，其图形关于原点成中心对称，P，Q到原点距离皆为1，所以P，Q两点关于原点成中心对称，因为Pcosθ，sinθ，所以Q（-cosθ，-sinθ），即Q（-cosθ，sin（-θ）），所以选（4）.

点评 本题考查的知识点有幂函数和三角函数的性质，关键是根据P，Q两点到原点距离皆为1推导出P，Q关于原点成中心对称.

试题8 有一个游戏的规则如下：丢三颗公正的骰子，若所得的点数恰满足下列（A）或（B）两个条件之一，可得到奖金100元;若两个条件都满足，则共得200元奖金;若两个条件都不满足，则无奖金.

（A）三个点数皆为奇数或者皆为偶数

（B）三个点数由小排到大为等差数列

若已知有两颗骰子的点数分别为1，3，且所得的奖金为100元，则未知的骰子点数可能为何？

（1）2;（2）3;（3）4;（4）5;（5）6.

解析 因为所得奖金为100元，则三个点数满足条件（A）（B）之一.

当未知的骰子的点数为2时，符合条件（B），但不符合条件（A），所以选项（1）正确;

当未知的骰子的点数为3时，符合条件（A），但不符合条件（B），所以选项（2）正确;

当未知的骰子的点数为4时，条件（A）（B）均不满足，选项（3）错误;

当未知的骰子的点数为5时，条件（A）（B）均满足，选项（4）错误;

当未知的骰子的点数为6时，条件（A）（B）均不满足，选项（5）错误.

故选（1）（2）.

点评 本题是多项选择题，较为容易，认真审题即可得到正确答案.

试题9 在坐标平面上，有一通过原点O的直线L，以及一半径为2、圆心为原点O的圆Γ.P，Q为Γ上相异两点，且OP，OQ分别与L所夹的锐角皆为30°，试选出内积OP·OQ之值可能发生的选项.

（1）23;（2）-23;（3）0;（4）-2;（5）-4.

解析 根据题意可知，OP，OQ的夹角可能为60°，120°，180°，所以OP·OQ=|OP||OQ|cos〈OP，OQ〉.

当〈OP，OQ〉=60°时，OP·OQ=22cos60°=2;

当〈OP，OQ〉=120°时，OP·OQ=22cos120°=-2;

当〈OP，OQ〉=180°时，OP·OQ=22cos180°=-4;

所以，正确的选项为（4）（5）.

点评 本题考查了考生的分类讨论的思想和向量的数量积等知识的运用，注意到直线和向量的区别. 根据题意，OP，OQ的夹角有3种情形，如图3所示，即〈OP，OQ〉=180°，〈OP，OQ1〉=60°，〈OP，OQ2〉=120°.值得一提的是，選项中并没有答案为“2”这一选项，也就是说，在多项选择题的命制中，选项不一定要覆盖所有可能值.

试题10 已知多项式f（x）=3x4+11x2-4，试选出正确的选项.

（1）y=f（x）的图形与y轴交点的y坐标小于0;

（2）f（x）=0有4个实根;

（3）f（x）=0至少有一个有理根;

（4）f（x）=0有一根介于0与1之间;

（5）f（x）=0有一根介于1与2之间.

解析 对于选项（1）来说，y=f（x）的图形与y轴交点的y坐标，即当x=0时y的值，显然有y=f（0）=-4<0，选项（1）正确;

对于选项（2），因为f（x）=3x4+11x2-4=（3x2-1）（x2+4），当f（x）=0时，有3x2-1=0或x2+4=0，显然，f（x）=0只有两个不同的实根x1，2=±33，其余两个根为虚根x3，4=±2i（i为虚数单位，即i2=-1），故选项（2）错误;

对于选项（3），由选项（2）可知，f（x）=0没有一个有理根，4个根分别为两个无理根，两个虚根，故选项（3）错误;

对于选项（4），因为0<33<1，故f（x）=0有一根介于0与1之间，选项（4）正确，选项（5）错误.

点评 本题从多个方面考查了多项式函数（次数为4）的图形和性质，如图形与y轴交点的纵坐标的正负，根的类型和根的范围等等. 首先，遇到与多项式函数有关的问题时，因式分解是关键，将高次降为低次进行问题解决. 其次，若不能够因式分解，则运用多形式函数的有关定理，如余数定理、综合除法、虚根成对定理、代数基本定理和插值公式来解决问题.

试题11 设a，b，c为实数且满足loga=1.1，logb=2.2，logc=3.3.试选出正确的选项.

（1）a+c=2b;（2）1

解析 对于选项（1），因为loga+logc=2logb，所以有b2=ac，并不能推导出a+c=2b，故选项（1）错误;实际上，因为c=a3，b=a2，若a+c=2b，则有a+a3=2a2，又因为a>10，所以a+a3=2a2无解，所以a+c=2b错误;

对于选项（2），因为a=101.1>10，与1

对于选项（3），因为c=103.3=103·100.3，显然有100.3>1，若100.3>2，则有0.3>log2，而log2≈0.3010，与0.3>log2矛盾，所以1<100.3<2，因此1000

对于选项（4），因为logbloga=2，所以b=a2，不能推导出b=2a，若b=2a，则两边取以10为底的对数，则有logb=log2a=log2+loga，所以log2=logb-loga=1.1，与log2≈0.3010矛盾，故选项（4）错误;

对于选项（5），因为2logb=loga+logc=4.4，所以有b2=ac，所以a，b，c成等比数列，故选项（5）正确.

点评 本题以对数函数为载体，考查了对数函数、指数函数和等比数列的有关知识.解决问题的过程中，换底公式是关键，特别是第（3）小问，需要利用的知识较为综合，在试卷末的“参考公式及可能用到的数值”中给出了“log2≈0.3010”，在解题的过程中需要用到.当然，如果考生能够记住该数值则更好.特别要注意的是，选项（1）（4）不能轻易否定，需要推理论证.

试题12 下表示2011年至2018年某国总就业人口与农业就业人口的部分相关数据，各年度的人口以人数计，有些是以千人计，有些以万人计，例如 2011年总就业人口为1070.9万人，65岁以上男性农业就业人口为69.1千人.试根据表格资料选出正确的选项.

（1）从2013年至2018年，65岁以上的男性农业就业人口逐年递增;

（2）从2013年至2018年，50岁至64岁之男性农业就业人口逐年递增;

（3）上表中，每一年的男性农业就业人口占总就业人口的比率都小于百分之五;

（4）上表中，每一年50岁至64岁之男性农业就业人口都少于49岁以下之男性农业就业人口;

（5）就65岁以上至男性农业就业人口而言，2018年比2011年增加了不到一万人.

解析 对于选项（1），从表格的最右一列可以看出，从2013年至2018年，65岁以上的男性农业就业人口逐年递增，故选项（1）正确;

对于选项（2），观察表格的第7列可知，2016年50岁至64岁男性农业就业人口为176.4万，而2015年为181.3万，2016年相当于2015年的男性农业就业人口减少了，故选项（2）错误;

对于选项（3），观察表格第2、4列可以发现，将每年第4列对应的数据分别除以第2列对应的数据发现，比值均小于百分之五，故选项（3）正确;

对于选项（4），观察表格发现，每年的第5、6列的数据之和均大于第7列对应的数据，也即是说每一年50岁至64岁之男性农业就业人口都大于49岁以下之男性农业就业人口，故选项（4）错误;

对于选项（5），65岁以上的男性农业人口，2018年为79.4千人，2011年为69.1千人，所以2018年比2011年增加了79.4-69.1=10.3（千人），即增加的人数超过了一万人，故选项（5）错误.

点评 本题主要考查了考生的读图、识表的能力，此题题干看上去文字很多，表格的数据也很多，但并不复杂. 实际上，认真阅读选项，根据选项从表格中寻找有用的信息（数据），稍加推理和估算即可得出正确答案.

试题13 如图4所示，四面体OABC中，△OAB和△OAC均为正三角形，∠BOC=30°.试选出正确的选项.

（1）BC>OC;

（2）△OBC是等腰三角形;

（3）△OBC的面积大于△OAB的面积;

（4）∠CAB=30°;

（5）平面OAB与平面OAC的夹角（以锐角计）小于30°.

解析 不妨设两个正△OAB，△OAC的边长为a，显然有△OBC为等腰三角形，其中顶角∠BOC=30°，两底角∠OBC=∠OCB=180°-30°2=75°，所以有BC

对于选项（2），△OBC为等腰三角形，故选项（2）正确;

对于选项（3），△OBC和△OAB共一条边OB，△OAB的边OB边上高的长为h1=a·sin60°=32a，而△OBC的OB边上高的长为h2=a·sin30°=a2，因为h1>h2，S△OBC=12ah1，S△OAB=12ah2，所以S△OBC

对于选项（4），由已知条件容易判断△COB和△CAB全等，根据全等三角形的对应角相等，所以∠CAB=∠COB=30°，故选项（4）正确;

对于选项（5），过点B，C分别作OA的垂线，两个垂足分别为D，F，实为同一点（可以证明），不妨设为点D，所以平面OAB与平面OAC的夹角为∠BDC.

在三角形OCB中，由余弦定理可得BC2=a2+a2-2a·acos30°=2a21-32.

在三角形CDB中，有BC2=CD2+BD2-2CD·BDcos∠CDB，

又因為BD=CD=32a，所以2a21-32=232a2-232a2cos∠CDB，

解得cos∠CDB=23-13.因为cos∠CDB=23-13<32，且∠CDB<90°，所以∠CDB>30°，即平面OAB与平面OAC的夹角大于30°，故选项（5）错误.

点评 本题是一道立体几何题，考查了平面几何中的有关长度、面积、全等、等腰三角形，二面角的平面角等知识，5个选项分别从不同的方面考查考生解决问题的能力，较为综合.

3 试题特色

2020年台湾地区学测考试（数学）的选填题（解答题）也很有特色，限于篇幅，本文不再赘述.选择题的试题特色已在点评中叙述，从13道选择题可以看出，2020年台湾地区学测考试总体的主要特色如下：

1.注重对基础知识和核心能力的考查.重点考查的内容有函数（三角函数、幂指对函数、多项式函数），向量（平面向量和空间向量），概率统计，矩阵，平面解析几何和空间立体几何、圆锥曲线等等.考查考生分析问题和解决问题的能力，以及对基本概念及其本质的掌握、理解和运用的能力，阅读理解（读图识表）的能力，逻辑推理、运算求解和估算的能力等等.特别重视阅读理解（如试题8和试题12）能力和数学思想的考查，比如分类讨论的思想、数形结合的思想等等.

2.在知识的交汇处命题.大部分试题均不止考查一个知识点，而是对多个知识点进行交汇考查，将不同内容的知识联系起来.如试题6综合考查了概率和对数函数内容，试题7综合考查了幂函数和三角函数内容，试题11综合考查了对数函数和等比数列内容等等.