一类函数图象上的特殊“点对”问题的求解策略

函数图象上特殊的“点对”问题是函数教学中经常遇到的，对于常规的某一个函数中存在关于原点、x轴、y轴及某条直线等对称的“点对”问题，思维的方向还是较明确的，但对于特殊的“点对”问题，则需要在弄清题意的基础上进行转化，数形结合，实现问题解决的优化，应在教学中高度重视.

问题1 函数y=11-x的图象与函数y=2sinπx（-2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）.

A.2B.4C.6D.8

本问题中求两个函数交点横坐标之和，则需首先研究这两个函数的特征，先看函数y1=11-x，它是由函数y=-1x经过变换得到的，而函数y=-1x关于点（0，0）成中心对称，所以函数y=11-x关于点（1，0）成中心对称;又因为函数y2=2sinπx的图象也关于点（1，0）成中心对称，这样两个函数恰有公共的对称中心（1，0）.

作出两个函数的图象（如图1所示），当1

因为函数y1在（1，4）上的函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E，F，G，H，y1在（-2，1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A，B，C，D，很显然A与H，B与G，C与F，D 与E均成点对，所以有xA+xH=xB+xG=xC+xF=xD+xE=2，故所求的横坐标之和为8，故选D.

本题抓住两个函数均关于对称中心成“点对”的问题，利用函数性质，探究交点之间的对称关系，使问题得以解决.

问题2 已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2-x），若函数y=x2-2x-3 与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则∑mi=1xi=（）.A.0B.mC.2mD.4m

本题从条件f（x）=f（2-x）可以知道，函数y=f（x）关于直线x=1对称，函数y=|x2-2x-3|也关于x=1对称，这样两个函数有共同的对称轴x=1，因此它们的交点就关于直线x=1对称.如图2：

当m为偶数时，其和为2×m2=m，当m为奇数时，其和为2×m-12+1=m，

因此选B.

本问题用到了重要的结论：如果函数f（x）满足x∈D，恒有f（a+x）=f（b-x），那么函数的图象有对称轴

x=a+b2.很显然这是一个关于直线对称的“点对”问题.

问题3 已知函数g（x）=a-x21e≤x≤e与h（x）=2lnx的圖象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）.

A.1，1e2+2B.[1，e2-2]

C.1e2+2，e2-2D.[e2-2，+∞）

本题中两个函数存在关于x轴对称的点，即“点对”，那又如何解决呢？

解决本问题的关键是将问题转化为当x∈1e，e时，方程a-x2=-2lnx有解即可，即a=x2-2lnx.设f（x）=x2-2lnx，则函数f（x）的值域就是实数a的取值范围.

由f′（x）=2x-2x=2x2-2x=0，得x=1.当x∈1e，1时，f′（x）<0，当x∈[1，e]时，f′（x）>0，所以函数f（x）在1e，1单调递减，在[1，e]单调递增.所以f（x）min=f（1）=1，又f1e=1e2+2，f（e）=e2-2>f1e，所以f（x）max=e2-2，这样1≤f（x）≤e2-2，故实数a的取值范围是[1，e2-2]，即选B.

本题是将函数存在关于x轴的“点对”问题化归为方程有解问题，考查学生化归与转化的能力.

问题4 已知函数f（x）=x2+ex-12（x<0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）.

本问题与上题类似，解决问题的关键是根据存在关于y轴对称的点，则函数f（x）与g（-x）必然存在交点，所以构造函数h（x）=f（x）-g（-x）在（-∞，0）必然存在零点，根据函数性质便可得到a的范围.

若存在x0∈（-∞，0）满足f（x0）=g（-x0）x20+ex0-12=（-x0）2+ln（-x0+a），即

ex0-ln（-x0+a）-12=0，令h（x）=ex-ln（-x+a）-12，因为函数y=ex和y=-ln（-x+a）在定义域内都是单调递增的，所以函数h（x）=ex-ln（-x+a）-12在定义域内是单调递增的，又因为x趋近于-∞时，函数h（x）<0且h（x）=0在（-∞，0）上有解（即函数h（x）有零点），所以h（0）=e0-ln（0+a）-12>0lna

问题5 已知函数f（x）=sinπ2x-1，x>0，loga（-x），x<0，（a>0，且a≠1）的图象上关于y轴对称的点至少有5对，则实数则a的取值范围是（）.

A.0，55 B.55，1

C.77，1 D.0，77

本问题中函数y=f（x）的图象上关于y轴对称的“点对”至少要有5对，实质上就是函数y=-sin（π2x）-1（x<0）与函数y=loga（-x）（x<0）至少要有5个不同的交点即可.画出两个函数图象（如图3）：

从图象可知，当a>1时不符合题意，只有当0-2，即a<77时满足条件，所以0

以上两问题是将存在关于y轴对称的“点对”问题，化归为函数的零点问题，虽然考查了函数零点的判定，但仍需要探究函数性质，抓住了问题的本质便可使问题轻松破解.

有些问题的“点对”给出的形式是以新定义型问题给出的，增添了问题的新颖性，其实质并没有发生变化.如：

问题6 若函数y=f（x）的图象上存在不同的两点M、N关于原点对称，则称点对（M，N）是函数y=f（x）的一对“和谐点对”（点对（M，N））与（N，M）看作同一对“和谐点对”.已知函数f（x）=ex，x<0，x2-4x，x>0，则此函数的“和谐点对”有（）.

A.1对B.2对C. 3对D.4对

本问题属于新定义型的信息题，此问题解决得关键是将问题转化为学过的知识与方法，从本题题意上分析，函数f（x）=ex，x<0，x2-4x，x>0，的“和谐点对”的个数就是其部分图象关于原点对称的图象与另一部分图象交点的个数，这种转化使问题的解决“易如反掌”.

作出函数f（x）=ex，x<0，x2-4x，x>0，的图象（如图4所示），由题意知函数y=f（x）的“和谐点对”数就是函数y=ex（x<0）和函数y=-x2-4x（x<0）图象的交点的个数.由图象知，函数y=f（x）有2对“和谐点对”.故选B.问题7 若函数y=f（x）满足：对y=f（x）图象上任意点P（x1，f（x1））总存在点P′（x2，f（x2））也在y=f（x）的图象上，使得x1x2+f（x1）f（x2）=0成立，则称函数y=f（x）是“特殊对点函数”.给出下列五个函数：

（1）y=x-1;（2）y=lnx;（3）y=ex-2;（4）y=sinx+1;（5）y=1-x2.

其中是“特殊對点函数”的序号是（写出所有正确的序号）.

本问题属于新定义型信息题，问题求解的关键是弄清什么是“特殊对点函数”.从题意上看函数y=f（x）图象上任意点P（x1，f（x1））总存在点P′（x2，f（x2））也在函数y=f（x）图象上且满足x1x2+f（x1）f（x2）=0，其实质就是OP·OP′=0，即

OP⊥OP′.

对于（1）y=x-1，作出函数图象，如图5知，当P（1，1）时，满足OP⊥OP′的点不在函数y=x-1上，故（1）y=x-1不是“特殊对点函数”;

对于（2）y=lnx，作出函数图象，如图6，当P（1，0）时，满足OP⊥OP′的点不在函数y=lnx上，故（2）y=lnx不是“特殊对点函数”;

对于（3）y=ex-2，作出函数图象，如图7知，对于任意点P（x1，f（x1）），其图象上都存在点P′（x2，f（x2））在函数图象上，且满足OP⊥OP′，故（3）y=ex-2是“特殊对点函数”;

对于（4）y=sinx+1，作出函数图象，如图8知，对于任意点P（x1，f（x1）），其图象上都存在点P′（x2，f（x2））在函数图象上，且满足OP⊥OP′，故（4）y=sinx+1是“特殊对点函数”;

对于（5）y=1-x2 作出函数图象，如图9知，对于任意点P（x1，f（x1）），其图象上都存在点P′（x2，f（x2））在函数图象上，且满足OP⊥OP′，故（5）y=1-x2是“特殊对点函数”.

综上，答案应填：（3）（4）（5）.

通过以上函数图象上特殊“点对”问题的解决可以看出，解决问题的通法是先作出函数对称部分的图象，再转化为两个函数图象交点问题，当然灵活运用函数的相关性质和数形结合的数学思想是问题解决的关键所在.

作者简介 王新兵（1963—），男，天津市人，天津市特级教师，首批正高级教师，天津师大硕士学位研究生导师，从事高中数学教学工作.曾被评为天津市优秀教师思想政治工作者，并获市级优秀教师奖章，多篇论文在国家级、市级刊物发表，著《高中数学典型问题的教学思维》一书.