曲径通幽：中考函数解法探究

文陈 缓

函数是初中数学的重要内容，初中阶段涉及的函数有一次函数、反比例函数、二次函数，而中考对函数的考查倾向于综合化、多样化。因此，同学们不仅需要掌握基本的函数知识，还需要认识函数与其他知识的相关联系，从而灵活求解。

例1 （2019·江苏无锡）已知一次函数y=kx+b的图像如图1 所示，则关于x的不等式3kx-b＞0的解集为 。

【分析】根据图像，可判断一次函数y=kx+b的增减性及与x轴交点的横坐标，即能求出不等式3kx-b＞0的解集。

解：由图像可知，一次函数y=kx+b经过点（-6，0），且k＜0，所以，0=-6k+b，则b=6k。

所以不等式3kx-b＞0 可转化为3kx-6k＞0，即（3x-6）k＞0。

因为k＜0，所以3x-6＜0，解得x＜2。

【点评】解决本题的关键在于根据一次函数图像的增减性确定k的范围。另外，函数图像与x轴交点的横坐标不能忘记考虑哦。

例2 （2019·江苏无锡）如图2，已知A为反比例函数的图像上一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B。若△OAB的面积为2，则k的值为（ ）。

A.2 B.-2 C.4 D.-4

【分析】从反比例函数系数k的几何意义入手，不妨设点A（x0，y0），将△OAB的面积用不同的方式表示出来，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值。

解：连接OA，如图2 所示，设点A的坐标为（x0，y0），因为AB⊥y轴，所以，S△OAB所以 |k|=4。因为点A在第二象限，所以k＜0，故k=-4，选D。

【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数的图像上任取一点，过该点分别向x轴和y轴作垂线，该点和垂足以及原点所构成的三角形的面积是定值中考经常对此类问题的变式进行考查，同学们一定要有“火眼金睛”，在变化的问题中找出基本图形。

例3 （2019·江苏南京改编）

【概念认识】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走。可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）=||x1-x2+||y1-y2。

【数学理解】（1）①已知点A（-2，1），则d（O，A）=；

②函数y=-2x+4（0≤x≤2）的图像如图3①所示，B是图像上一点，d（O，B）=3，则点B的坐标是 。

（3）函数y=x2-5x+7（x≥0）的图像如图3③所示，D是图像上一点，求d（O，D）的最小值及对应的点D的坐标。

【分析】（1）①根据条件中给出的新定义，直接代入求解；②根据B是图像y=-2x+4（0≤x≤2）上一点，可设出点B的坐标为（x，-2x+4），结合d（O，B）=3，得到关于x的一元一次方程，求解该方程即可求出点B的坐标。（2）利用反证法，根据题意，得，整理得x2-3x+4=0，由b2-4ac＜0 可证得该函数的图像不存在满足题意的点C。（3）根据题意，得去绝对值后由二次函数的性质可求出最小值。

②设B（x，-2x+4）（0≤x≤2），则d（O，

所以，x+（-2x+4）=3，解得x=1，

所以点B的坐标是（1，2）。

因为x＞0，所以，则 ||x- 0+，所以

方程两边同乘x，得x2+4=3x。

整理，得x2-3x+4=0。

因为a=1，b=-3，c=4，所以b2-4ac=（-3）2-4×1×4=-7＜0，

所以方程x2-3x+4=0无实数根，

（3）设D（x，x2-5x+7）（x≥0）。

根 据 题 意，得d（O，D）=||x- 0+

所以，当x=2 时，d（O，D）有最小值3，此时点D的坐标是（2，1）。

【点评】本题是一道关于二次函数的综合题，涉及的知识点有新定义、解方程、二次函数、反比例函数等。需要我们注意的是，二次函数的图像与性质部分蕴含多种数学思想，能够与多个知识点相结合，构建综合性的问题，是中考数学考查的重点。