把握结构 “恰当”构造——以高三复习中的一道函数不等式证明题为例

四川省温江中学 (611130) 张 君

函数不等式问题是近年全国卷高考热点，在解答证明过程中体现了对数学抽象、数学推理、数学运算、数学建模、直观想象等核心素养的考查.在具体构造操作中体会导数在研究函数问题中的工具性.解决函数不等式问题方法多、形式新、技巧性强、难度大，常见方法是把证明不等式问题转化成求函数的最值问题，关键是“恰当”的构造函数.如何做到更“恰当”？是学生解决此类问题的难点.在最近高三复习教学中，学生对一道函数不等式证明的诊断试题的解答普遍感到困难，部分卷面反应出有思路，但极少有做得很严谨、完整.笔者在教学中对此问题进行了一些探究和思考，仅供参考.

1.题目

(2020届绵阳一诊理21)已知函数f(x)=ex-ax2，a∈R，x∈(0,+∞).

(1)若f(x)存在极小值，求实数a的取值范围；

2.解法探究

思路1：参变分离消参构造

①当00≥axlnx，不等式恒成立；

思路2：不等式放缩构造

先证不等式：ex≥x+1(当且仅当x=0时取等).令h(x)=ex-x-1，则h′(x)=ex-1，所以h(x)在(-∞,0)内单调递减，在(0,+∞)内单调递增，∴h(x)≥h(0)=0，即证.

思路3：直接作差构造

①当00≥axlnx，不等式恒成立；

评注：移项作差直接构造，转化成差函数的最值问题，这是不等式证明最常见、最基本的方法，学生容易想到，也是学生的普遍的想法和解法，但要两次用到隐零点，g(x)的最小值只能用隐形零点表示，还需要再次构造函数求g(x)的最小值的最小值大于0，过程复杂，运算能力要求很高，难度大.

思路4：变形作差构造

①当00≥axlnx，不等式恒成立；

又h(1)=-1<0，h(2)=0，所以当x∈(1,2)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(2,+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增.g(x)≥g(2)=1-ln2>0，故g(x)>0，问题得证.

3.归纳提炼

3.1 方法凝炼

图1

3.2 常见函数组合

(1)幂函数x(xn)与指数函数ex的运算组合

f(x)f(x)=exxf(x)=xexf(x)=x·ex图像定义域{x|x≠0}RR单调性在(-∞,0)和(0,1)内单调递减;在(1,+∞)内单调递增.在(-∞,1)内单调递增;在(1,+∞)内单调递减.在(-∞,-1)内单调递增;在(-1,+∞)内单调递减.最值在(0,+∞)上有最小值f(1)=e在R上有最大值f(1)=1e在R上有最小值f(-1)=-1e

(2)幂函数x(xn)与对数函数lnx的运算组合

f(x)f(x)=lnxxf(x)=xlnxf(x)=x·lnx图像定义域(0,+∞)(0,1)∪(1,+∞)(0,+∞)单调性在(0,e)内单调递增;在(e,+∞)内单调递增.在(0,1)和(1,e)内单调递减;在(e,+∞)内单调递增.在(0,1e)内单调递减;在(1e,+∞)内单调递减.最值在(0,+∞)上有最大值f(e)=1e在(1,+∞)上有最小值f(e)=e在(0,+∞)上有最小值f(1e)=-1e

4.改编、创编

图2

4.1 逆向改编成恒成立问题

改编题1 若ex>axlnx对∀x∈(0,+∞)恒成立，求正整数a的最大值.

4.2 调整参数a的取值范围

图3

4.3 调整参数a的位置

图4

5 牛刀小试

(1)求a,b；(2)求证：f(x)>1.

题目2 已知函数f(x)=(aex+ex)(ex+ex)与g(x)=e2x(其中e为自然对数的底数)的图像恰有三个不同的公共点则实数a的取值范围是( ).

6.结语

在高三复习教学中，不仅要注重让学生掌握解决问题的通性通法，更需要加强解题后的反思、总结、提炼，一题多解、一题优解，引导学生细致分析问题的结构特点，厘清思路，体会命题者意图，抓住指数函数、对数函数、幂函数和三角函数等核心知识，追根溯源，类比归纳、变化角度、改编创编，进而提出新的问题并加以解决，举一反三，让学生真正感受数学学习的乐趣，从而使高三复习更具深度.