高职高等数学《定积分的概念》教学设计

王萌

《高等数学》是一门很重要的公共基础性学科。其重要的原因不仅在于可以学到一些数学概念、公式和结论，为其他数学课和专业课的学习打好基础，更重要的是通过学习高等数学可以培养人的理性思维的品格和思辩能力，能启迪智慧，开发创造力。接下来我将从设计理念、教学背景、教法与学法、教学过程、创新与亮点几个方面谈谈自己的设计思路和想法。

1 设计理念

构建主义教学观认为，教学不能无视学习者已有的知识经验，不能简单的强硬地从外部对学习者实施知识的“强灌”，而应该把学习者原有的知识经验作为新的知识的生长点，引导学生从原有的知识经验中主动构建新的知识经验。所以我分析教材，分析学生，根据学生现状及不同专业对高等数学的需求，制定教学目标，确定重难点，根据这些确定教学流程、教学方法。我重视学生的自主参与能力，重视学生自主探究能力和创新能力的培养，激励学生积极思维，大胆思考，动手实践。并力争线上、线下相结合，运用信息化教学手段教学，形象展示数学的魅力，让学生感觉到数学有用，从而激发学生学数学的兴趣，提高学生“用数学”的能力。

2 教学背景

2.1 教材分析

2.1.1课程定位：

《高等数学》是高职（专）院校所有学科的一门公共基础理论课。通过本课程的学习，使学生获得够用的微积分、向量代数及空间解析几何的基本知识、必要的基础理论和常用的运算方法，为学习后续课程，特别是专业课程的学习和进一步扩展数学知识奠定必要的基础。

2.1.2 本节课在《高等数学》中的地位作用：

《定积分的概念》是高等数学中最主要的经典理论，是学生进入“积分”世界必须跨过的第一道门槛，这一思想的理解直接关系到应用定积分思想解决现实问题的能力。这节课上承导数、不定积分，下接定积分在几何、物理、经济、电工学等其他学科中的应用。

2.2 学生分析

2.2.1 知识结构特点：由于各种原因，学生数学基础参差不齐，整体对数学的理解力有待提高，排斥过多的理论知识，喜欢自主学习，对新概念新内容有强烈的求知欲。

2.2.2 信息化水平：95后，數字土著。对电脑、手机等电子产品能熟练操作且兴趣浓厚，喜欢在手机上进行学习。

2.2.3 性格特点：比较自我，不喜欢被支配，不喜欢传统的教育方式，却喜欢自己发现探究。

2.3 教学目标

2.3.1 知识目标：通过探求曲边梯形的面积，使学生了解“分割、近似代替、求和、取极限”的思想方法;从而理解、掌握定积分的概念、几何意义和性质。

2.3.2 能力目标：通过类比“穷竭法”“割圆术”，引导学生萌发“以直代曲”的想法，逐步培养学生的辨证思维能力和知识迁移的能力;

2.3.3 情感目标：从实践中创设情境，渗透“化整为零，积零为整”的辨证唯物观;激发学习热情，强化参与意识，培养严谨的学习态度。

2.4 重点难点

重点：理解定积分的概念和思想，掌握曲边梯形的面积求法。

难点：掌握“以直代曲”和“渐进逼近”的思想形成过程。

解决办法：案例引入概念，以问题驱动，小组讨论，淡化理论，借助网络、多媒体，结合图形教学，遵循循序渐进的认知规律。

3 教法与学法

3.1 教法方面

本节课对于高职学生来说，难度很大，教学时力求从学生的已有知识和实际学习情况及自身特点出发设计本课。课端采用任务驱动法和讨论法完成刘徽“割圆术”和阿基米德“穷竭法”的相关作业;课前采用问题驱动法引入新课（规则图形面积，不规则图形面积）;课中案例驱动法和小组讨论法完成求曲边梯形面积和变速直线运动的路程两个案例的学习，突破重难点;课中典型例题分析法（例题1、2、3）应用新知，课尾总结归纳法巩固要点。

3.2 学法方面

学生课前问题学习法（从网上查找刘徽“割圆术”和阿基米德“穷竭法”的相关资料，在学习通平台上回答刘徽是怎么求出圆的面积的等相关问题），使“以曲代直”思想在学生心中萌芽;课中引导学生利用发现法、小组讨论法解决案例一，课中自主探究法、小组讨论法解决案例二，课中小结归纳法总结出概念，课末利用练习法巩固加深理解。

4 教学过程

课前任务驱动查阅资料→课端创设情境引入新课→课中案例一重点精讲，突破难点→类比讨论法解决案例二，对比发现得出概念→课中经典例题巩固练习→课尾课堂小结巩固要点→课末布置作业课后拓展七个环节，现分述如下：

4.1 课前翻转课堂，利用学院信息化教学平台

4.1.1 老师在学习通平台上发布任务：在网上查阅刘徽生平及“割圆术”、阿基米德和“穷竭法”。回答：

（1）刘徽是怎么样求出圆的面积的？

（2）阿基米德是怎么样求由抛物线y=x2与直线x=1，y=0所围成的平面图形的面积？

4.1.2 查看平台上本节课的相关教学资料，预习新课。

4.2 课端创设情境导入

点评课前学生学习的结果，赞扬大家积极参与的行为。同时老师提问题：

①如何求三角形、矩形、梯形和圆的面积？

②PPT投放大湖，田地等不规则图形，这样的面积怎么求？比如：一个图形中有直线和曲线（用图片展示出曲边梯形），结合图形给出曲边梯形的定义，提出问题：如何求曲边梯形的面积？

4.3 课中问题驱动法精讲案例一，突破重难点

问题1： 如何求曲边梯形的面积？

关键点：求曲边梯形面积的难点在于如何处理这条曲线，而这条曲线是连续的，教师引导学生回顾连续函数的定义，从而得知曲边梯形的高f（x）在很小一段区间上变化很小，近似于不变。因为学生已经回答课前问题，肯定又学生会说出思路：曲边梯形→若干窄曲边梯形→若干窄矩形近似代替，老师立刻组织小组讨论，汇报（也就是我们说的分割→近似代替→求和）。

问题2：既然是近似值就会用误差，用什么方法可以使误差尽量减小？

学生自主讨论，教师在大屏幕上投放两张图片（一张是将曲边梯形四等分，一张是将曲边梯形九等分），引导启发学生最终得出整个思路：“分割→近似代替→求和→取极限”。

问题3：如何用数学表达式最终写出曲边梯形的面积公式？

根据“分割→近似代替→求和→取极限”这一思路，全班分组讨论后，各小组派代表展示自己结果，教师及时再给予评价（评价多以表扬和鼓励为主）。最后，教师作总结，板书其过程。

4.4 类比、讨论法求解变速直线运动的路程

对于案例2“变速直线运动的路程”知识点的学习，是以学生为主体，学生根据案例1的思想方法，在老师的启发之下通过类比、小组讨论讨论完成，变速直线运动的路程之后，小组将完成的结果进行展示互相评价，对共性的问题老师进行讲解，对个别问题进行个别指导。

接下来老师引导学生去观察两个案例的解决过程和结果，发现抛去它们的实际意义单纯从数学的角度看，所用的方法完全相同，并且最终都归结为结构相同的和式极限。教师指出在实际应用中，还有很多问题的解决也可以采用这种方法，数学上把这种和式的极限值称为定积分，进而引出定积分的概念。（强调定义中的两个任意：分割是任意的，小区间上的点是任意取的），鼓励学生用定积分的形式写出曲边梯形梯形面积和变速直线运动路程的表达式。（分小组展示）

4.5 典型例题巩固所学

例1、用定积分表示，及直线和所围成的曲边梯形的面积。

例2、利用定积分的定义计算的值。

4.6 课尾课堂小结巩固要点

总结：梳理知识、巩固重点

（1）回顾求曲边梯形面积的四个步骤：分割、近似代替、求和、取极限

（2）回顾定积分作为和式极限的概念

（3）加深概念理解的幾个注意点

4.7 课末布置作业课后拓展

（1）课本作业

（2）思考：课端大湖、田地等不规则图形的面积如何计算？

5 创新与特点

这节课属于概念教学，遵循概念教学的五流程：体验概念（课前）、提炼概念（两个案例）、形成概念、巩固概念和应用概念。分四个阶段来实施：感知阶段、理性认识阶段、概况阶段和应用阶段。

5.1 课前任务驱动法：根据学生特点合理利用信息化教学手段，布置开放式作业（刘徽割圆术和阿基米德穷竭法），通过线上线下学习萌发微积分思想;也使课堂上的学生讨论能按老师预设的方向进行，从而得到正确结论。

5.2 课中案例分析法和问题驱动法，使得环环紧扣：从两个案例引入，步步问题，步步紧逼，当问题解决时，概念自然出现，把晦涩难懂概念直观化、形象化，让学生有一种“水到渠成”之感，保证重难点的突破。

5.3 恰当使用多媒体PPT引导启发学生思路。（分割曲边梯形面积时）

5.4 教学过程中师生互动，生生互动，充分调动学生的学习主动性。

（作者单位：甘肃钢铁职业技术学院基础教学部）