美国数学教育家杨格的数学价值观

王海雯 汪晓勤

摘要：美国著名数学教育家杨格认为，数学对自然科学的产生与发展起着重要的作用，为不同文化背景下的人们相互尊重、理解和包容创造了条件，具有科学价值、应用价值、文化价值、智育价值、审美价值和德育价值。对他的数学价值观进行深入的考察，有功于数学教师更好地理解数学课程标准，更好地引导学生树立正确的世界观、价值观和人生观。

关键词：杨格 数学价值观 数学史

一、引言

《普通高中数学课程标准（2017年版）》在“课程目标”中指出：通过高中数学课程的学习，学生能提高学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心，养成良好的数学学习习惯，发展自主学习的能力;树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神……认识数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值。这就要求新时代的数学教师对数学的四类价值有深刻的理解。

历史上，从古希腊开始，西方学者对数学的价值有过长期的讨论。总括起来，有训练思维、发展智力、获得真知、现实应用、美化心灵、消遣娱乐、惩戒浮躁等。②但关于数学价值的全面、系统的总结和分析并不多见。20世纪上半叶，美国著名数学教育家杨格（J. W.A.Young，1865 1948）在其The Teaching of、Mathematics in the Elementaryand the seccndary school（《中小学数学教学》）一书中用整整一章的篇幅来论述数学学习的目的与价值。杨格在读博期间从事数学研究，后来成为芝加哥大学数学和数学教育学教授。③出版于1907年的The Teaching of Mathematics in theEIementary and the secondary school（《中小学数学教学》）一书，奠定了杨格在数学教育学领域的权威性和影响力，书中不仅研究了基于学生认知需求的数学学科的逻辑价值和实际应用，而且探索了成为一名成功数学教师的有效课堂教学方法。杨格认为，除非是作为一切知识的载体和一切交流的媒介，任何科目都不能仅仅因为其本身的内容而理所应当地成为每门中小学课程的基本要素，或成为每一个学生的必然要求，每一门学科都有着更广泛的功能。对于教师来说，给学生讲清他所教授学科的价值，可能是一种临时的需求，但他自己弄清他的学科的功能，却是永久的、必不可少的需求;理想的教学，需要教师不仅知道“教什么”“怎么教”，还要知道“为何教”。①

那么，杨格总结了数学的哪些价值？本文拟对他的关于数学价值的观点进行深入的考察，以帮助今天的数学教师更好地理解课程标准中所提及的数学的各种价值。

二、数学的价值

（一）科学价值

数学的科学价值，是指数学对自然科学的产生与发展的作用和意义。②德国哲学家康德在其《纯粹理性批判》一书中指出：“任何一门自然科学，只有当它能应用数学工具进行研究时，才能算是一门发展渐趋完善的真实科学。”③杨格从数学对于探究自然的重要作用出发，来论述数学的科学价值。杨格认为，中学数学中很少有什么知识不是对自然界中存在的定量关系进行数学刻画的结果。

杨格指出，如果没有数学知识，哪怕是最简单的自然现象也难以理解;深入探究自然之秘密，更是离不开数学。他引用数学家哈尔斯蒂德关于数学与自然科学关系的一段话：

除了显微切片机、显微镜、观察与实验的统计学，这门新科学必须使用什么征服世界的工具呢？答案显而易见：数学。这一科学逻辑之巨钳让牛顿（I.Newton，1643 1727）看到月球只不过是试图落到他头上的更大的苹果，让看不见的行星一海王星在亚当斯（J.C.Adams，1819 1892）的头脑中闪闪发光，告诉瑞利（Rayleigh，1842 1919）化学家们一直在呼吸大量的氩气却一无所知，向门捷列夫（ Mendeleev，18341907）指明未知的化学元素的位置。通过亥姆霍兹（ H.L.F.von Helmholtz，1821 1894）及其学生赫兹（H.R.Hertz，1857 1894），她又给了我们勒纳德射线、伦琴射线、镭以及基于赫兹波的无线电电报技术。④

这段话充分说明了数学对于物理学、天文学和化学发现的重要作用。

杨格认为，自然现象最显著的特征是变化，而数学中最重要的一个分支一微积分一就是研究变化的学科。杨格称微积分为“自然之数学”。⑤17世纪，科学家们利用微积分探寻自然规律，取得了斐然的成就。对微积分的初步了解，让人们在探索自然规律所取得的成果中感受到数学的魅力。⑥

杨格断言，自然完全是数学化的，一些更精密的自然科学，特别是天文学和物理学，在理论阶段基本上都有着数学的特征。当其他科学由于现象的复杂性和数据的不精确性而被迫停留在描述性和经验性上时，天文学和物理学却朝着数学的理想而发展一以自然现象背后存在数学关系为基本假设，若没有发现和建立这些关系，任何结果都不足以成为这些学科的固定知识。⑦可见，如果没有数学，理解自然科学将是非常困难的。

不仅如此，数学也是其他科学探究自然现象的基础和延伸。杨格认为，数学在处理符号方面所给予的训练为其他科学做了很好的准备。数学符号的出现使数学成为抽象化的科学，符号作为一种传播思想的媒介在众多学科的研究中发挥了不可或缺的作用。在物理学、化学和天文学等众多学科中都有着数学的影子，学生在学习其他科目时能够体会到数学的科学价值。

反过来，理解自然、研究自然科学也同样推动着数学的发展。杨格认为，深入探寻自然奥秘的尝试促进了数学理论和方法的不断发展。数学上的许多概念、命题、思想、方法和理论，从最简单的到最抽象的，都是出于研究自然的需要而产生的。这样的例子比比皆是。比如，三角学源于天文计算和航海的需要，而历法的编制导致了许多数学成果的诞生，如分数运算、勾股测量术、剩余定理、内插法、高次方程理论等。又如，生物学的发展离不开分析和探索遗传规律，此時就需要用到丰富的数学理论。显然，自然研究中的新问题催生了新的数学工作;反过来，新的数学发现又应用于自然科学的新的研究，促进着自然科学的发展。

（二）应用价值

杨格认为，数学在人类生活中有着不可替代的实际应用价值。事实上，从历史上看，几何学就是源于土地丈量;很多的代数和几何理论都源于人们对于量的间接测量。无论把铁器、蒸汽和电气放到哪里，都会发现数学是先驱;如果数学这一支柱被移除，人类物质文明的大厦将不可避免地崩塌。

杨格指出，从事各种职业的人们都需要数学。他写道：

你想当律师吗？倘若你不能学会分析一个简单的几何命题，你又如何学会分析一个复杂的法律案件呢？你是历史研究者吗？倘若你连一个简单代数关系中某个系数的影响都确定不了，你又怎能确定拿破仑对世界发展的影响呢？你是语言学家吗？倘若你不能学会将一个琐碎的“阅读问题”翻译成相应的数学符号语言，你又怎能够将一部名著从一种语言翻译成另一种语言呢？你想当医生吗？倘若你缺乏从一个初等方程中诊断和消去未知量所需的能力，你又怎能根据复杂而模糊的症状诊断和消除疾病呢？①

杨格还特别强调了数学符号对不同职业的重要意义：

世界上很多事务都是利用符号来完成的。从电话局里的女接线员到信号塔下的男指挥员，再到铁路或其他大公司的总裁，都是坐在一间小小办公室里，用符号指导一个庞大行业的无数活动，世间诸事都需要对符号的掌握。只有那些报酬最低、人们最不喜欢的职业才完完全全与实际事物打交道，职位的责任越大、越受青睐，符号就用得越多。运货到商店的车夫，只处理实际的事物;但业主却很少不用符号。在二十世纪，使用符号的能力哪怕对于小小的成功也是不可或缺的。②

数学的思维方式在现实生活中有着广泛的应用。杨格举了一个成功企业家的创业史。企业家首先从“水力”开始，认为有了水力，就能吸引制造商，于是，他建造了15000马力的水渠，但制造商并没有来。于是他又想，水力有了，加上五大湖所提供的运输条件，如果拥有价格便宜的原材料，就会源源不断地吸引投资。于是，在15万平方英里的北方原野上，他找到了原材料一云杉，欧美用于造纸的树木短缺，而那里却有一望无际的云杉林，一千年都采不完，且30年就能再生，于是，他决定从事纸浆业。但由于价格昂贵，美国造纸商不愿意从加拿大购买纸浆，而把一半是水的纸浆运往欧洲成本又太高，于是，他决定制造干浆。由于没有制造干浆的机器，他决定自造干浆机，最终取得成功。他又想使用亚硫酸来处理原材料，但需要有硫。于是，在镍矿里，他找到了硫。但硫与黄铁矿石是}昆合在一起的，当时并没有将两者分离开来的方法，于是他建了一个实验室，召集世界各地的科学家和工匠做实验，最终取得了成功。实验室成功合成了镍钢合金，获得了克虏伯钢厂未来5年的订单。由于矿石中所含的铜损坏了镍钢合金的功效，他又一次诉诸实验室。要去掉铜，需要烧碱，而烧碱可从普通食盐中提取。……这里，企业家的“如果有……就能……”的思考方式与数学家的“如果证明……就能……”是相似的。

在杨格看来，数学教科书应该充分重视数学的应用价值，且将数学应用于学生易于理解的现代工业、商业和科学问题之中。①对于学生而言，他们热衷于探索能激起他们好奇心的问题，从中找出相应的问题解决策略，而更重要的是，这些策略能在日常生活中找到用武之地。

（三）文化价值

杨格从多元文化的视角论及数学的文化价值。他认为，数学乃是人类头脑中固有的一种思想，随着文明的发展而高度发展。无论出现于哪个文明，数学本质上都是一样的，它可能有不同范围，但总有相同的特征。只要条件相同，那么所得到的结果必然相同。如6X7，一个民族求得42，另一个民族不可能求得43。一个时代，人们发现直角三角形斜边上的正方形的面积等于两条直角边上的正方形之和;另一个时代，人們不可能发现直角三角形斜边上的正方形的面积等于另两边上正方形之和的两倍。古代印度人所解决的问题，欧洲人许多世纪后才独立解决，又过了几个世纪后才发现这些问题很久以前早已经被更古老的文明所解决。

数学的特点决定了数学文化的多元性。打开数学历史的画卷，相关的例子比比皆是：勾股定理先后为古代的巴比伦、中国、埃及和印度人所发现;一元二次方程的解法为古代的两河流域、印度和中国人所熟知;二项式系数表（算术三角形）分别出现于中世纪的中国、印度、阿拉伯和欧洲数学文献中;古希腊数学家阿基米德发现并证明了球体积公式，但5世纪中国数学家祖咂、17世纪德国数学家开普勒、意大利数学家卡瓦列里、日本数学家关孝和等相继独立推导出同样的公式;人们常常说起18世纪德国数学家高斯的等差数列的倒序求和法，殊不知13世纪中国数学家杨辉早已用几何方法解决了同样的问题。

对于数学历史的深刻理解，让杨格摒弃了“西方中心论”的偏见。可以说，在科学史家萨顿之前，杨格已经有了“科学统一性”的思想。数学思想为人类所共有，因而是不同文明互相交流的工具，为不同文化背景下的人们相互尊重、理解和包容创造了条件，这正是数学的文化价值之一。

（四）智育价值

杨格从思维方式的角度来讨论数学的智育价值。他认为，数学乃是最典型、最清晰、最简洁的思维方式，这种思维方式对于每一个人来说都是至关重要的。杨格的论述实际上已涉及我们今天所说的数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养。

其一，数学有助于培养学生抽象、一般化和分类的能力。初等数学中一般化的最引人注目的例子是数的概念：从整数概念相继扩大到分数、无理数、负数和虚数。学生如果能从不同的关系中抽象出这些概念以及概念之间的联系，那他们便插上了由繁入简、以简驭繁的翅膀，在日常生活和实践问题的表征中翱翔。代数是对算术方法的一般化处理，几何学中也有很多分类和一般化的情形。

其二，学生所有的想法和行为都受到有意识或无意识得出的结论的影响。杨格所说的思维方式，是指理解陈述、注意事实和推出结论。他认为，在任何合理的结论中，推理行为本身总是具有数学性质的，不管表面上有多偶然，实际上是它的先验的必然结果，任何了解这种先验性的人都可以从中做出合理的假设，并能够在这种条件下厘清事件中的复杂关系。

其三，数学可以培养学生的空间想象能力。杨格认为，数学在想象力上有着持续的需要，它要求在空间中作图，如果没有越来越强的能力去想象一个给定情况下的各种可能性，并使它们在头脑中浮现出来，就不可能取得相当大的成功。

（五）审美价值

杨格强调，数学的美一简单、对称、紧致、完整，即使是对儿童来说，可以并且理应成为典范。学生通常对摆在他面前的东西有足够的鉴赏力，从而可以认识到所讨论问题的重要性和价值。当该问题恰当而具体地呈现出来时，学生应获得美的享受，而不是对丑陋和不愉快的厌恶。

数学有其自身的美一通过对过程和方法的精确调整使得结果没有冗余。在杨格眼中，这非常可贵，并且只有在最美的作品中才能找到。他引用歌德的话来论证自己的观点：歌德把一座高贵的大教堂称为“凝固的音乐”，这是一种恰如其分的表达，但也许更恰当地应称之为“石化的数学”。①确实，无论是建筑中的图案还是音乐中的音符，无不是用抽象的符号语言来表达内容。数学一直是艺术家们取之不尽、用之不竭的宝贵的创造源泉。从斐波那契数列和圆周率的小数位数字，到四面体和莫比乌斯带，都可以作为艺术家创作的灵感。在绘画中，世界名画《最后的晚餐》就是以几何图形为基础而设计画面，其中还利用了等边三角形和透视学原理;在建筑中，举世闻名的古希腊帕特农神庙的建造比例就用到了数学中黄金分割的方法;在版画中，作品《红蚁》就用到了莫比乌斯带的数学知识，将空间之美展现得淋漓尽致;在音乐中，乐章中三和弦的不同音符的频率共同构成了一个等比数列;在园林设计中，点、线、面、体等要素的排布就需要用到数学中的拓扑学概念，然后对空间进行建模分析。数学以其独特的对称美、抽象美、简洁美等美学要素，融人世界的各个角落之中，在世界艺术宝库中占据一席之地，有着极高的审美价值。

的确，数学与美学关系密切、联系深刻，彼此之间互相汲取精神的养料，提升思想的境界，可谓相辅相成、相得益彰。当学生在科学审美的实践活动中具备一定的科学鉴赏力，他们便可以凭借着数学中的审美原则和美学方法洞察世界，发现世界里独具特色的巧妙之处。在这样的感染和熏陶下，学生便会一步步地迈入神圣的学术殿堂，最终达到人格气质的升华。因此，数学在学生逐步形成正确而鲜明的审美观方面有着特别的意义，而这也体现了数学崇高的审美价值。

（六）德育价值

杨格认为，数学在形成和发展人的世界观、价值观和人生观等方面具有独特的意义和作用。他的论述涉及理性、信念、品质和情感等诸多方面。

其一，数学最重要的德育价值在于理性精神的培养。杨格写道：

数学上并无权威可言，不存在什么人云亦云。每个人都有权利要求自己被说服，要求事情不半途而废。一个新手的结论和数学家大会的结论是无分轩轾的，其正确与否只取决于证明的正确或错误，而与其背后的证明者无关。②

因此，学生无须盲目接受教师或书本提出的机械规则，他们可以勇敢地提出质疑。此外，数学为儿童提供了早期的机会去做出独到的发现，加上它的结论是确定的并且早期的结论是容易掌握的，因此，它允许学习者从简单的、非常容易的结论开始，并以良好的等级顺序逐步发展到相当复杂的情形。这样一来，学生从实际发现出发，不被个人情绪和偏见所左右，能做出更加理性的思考和判断。在数学学习的过程中，学生还能够提高把握形势、明确事实、正确感知事态的能力。由此，数学不仅使人通情更使人达理，让人能够尊重但不盲从，礼赞却不迷信。简言之，数学思维在培养人的理性精神上是大有裨益的。

其二，学生有权尽可能多地被告知学习数学的用途和目的。如上所说，数学和生活息息相关，可以用来解决很多現实问题，是一门有用的学问。学生通过体会数学在实际生活中的意义和作用，树立一定的数学信念和数学学习信念。这种信念可以是一种目标和追求，促使学生形成自己的人生观和价值观，进而成为其道德行为的内在动因，达到德育之效。

其三，数学是一门非常严谨的学科，学生需要对自己完成的工作进行严格的审查，即使是一个微小的失误也会轻而易举地暴露出自己工作中的问题。因此，在某种程度上，学生在学习这样一门容不得半点差池的学科的过程中，养成专心致志、认真努力、踏实进取的学习习惯和一丝不苟、严谨求实的科学精神，应该是一种必然的结果。学习数学还可以培养自我审视的习惯，没有哪一个地方比数学更需要对自己的工作进行严格的审查，没有哪一个地方甚至出现轻微的错误行为都能十分轻易地、毫不含糊地推翻结果。此外，学习数学有助于培养整洁和准确的习惯。从最早学习数学开始，只有时刻保持谨小慎微的态度，坚持整洁、准确的习惯，才能取得最好的效果。由此看来，数学的学习与人格品质的修炼有着深刻的联系，彰显着数学的德育价值。

其四，数学有着悠久的历史，教科书中的历史注解有助于激发学生的兴趣，而数学家传记与画像可以让数学变得人性化。①

三、结语

让学生树立正确的数学价值观，乃是数学教学中实施学科德育、落实立德树人的需要，而这种价值观往往都是通过课堂教学潜移默化地传递给学生的。

要在数学教学中体现数学的多元价值，理想的教学材料不可或缺，而数学史正是这种素材的宝库。比如，在“相似三角形应用”的教学中，可以利用古希腊水利工程奇迹一萨默斯隧道的设计问题，来揭示几何学的应用价值和文化价值。同时，通过让学生设计隧道的方向，并将学生的方法与古代工程师的方法进行对比，让学生穿越时空与古人对话，亲近数学，提升自信，学会倾听，感悟数学背后的理性精神，从而实现数学的德育价值。又如，在“角平分线性质”的教学中，可以利用中世纪法律问题一淤积地分割问题，来揭示数学的文化价值、应用价值和德育价值。再如，在“对数”概念教学中，可以通过对数的历史来揭示数学的科学价值、应用价值和文化价值，并通过对数发明者纳皮尔的故事，展示数学家身上执着、坚韧、担当、倾听的优秀品质，引导学生树立积极的数学情感和信念。HPM视角下的数学教学，可以充分体现数学的多元价值。

当然，教师需要完善自身的知识结构，树立正确的数学价值观，为教学内容增加情感的基础、价值的引领和思维的拓展等内涵，增强学生对学习数学的认同感。我们有理由相信，美好的数学情怀必将成为新时代的一种常态，有温度的数学教学必将成为新时代的一种共识。

（王海雯，华东师范大学教师教育学院硕士研究生。主要从事数学史与数学教育研究。汪晓勤，华东师范大学教师教育学院教授、博士生导师。主要从事数学史与数学教育研究，致力于HPM研究、实践、传播与人才培养。著有《数学文化透视》《HPM：数学史与数学教育）《数学史与初中数学教学：理论、实践与案例》等。）

①本文系上海高校立德树人人文社会科学重点研究基地之数学教育教学研究基地子课题“数学課程与教学中如何落实立德树人”系列论文之一。

②汪晓勤，栗小妮.数学史与初中数学教学：理论、实践与案例[M].上海：华东师范大学出版社，2019： 20- 59。

③ Stein.S. L. Young's Vision[J]. MathematicsTeacher. 1993（4）： 330-333.

①④⑤⑦Young，J.W.A.The Teaching of Mathematicsin the Elementary and the Secondary School[Ml. New York：Longmans. Green &CO..1907： 11， 16.52.15_

②杨骞，涂荣豹.略论数学教育的科学价值[J].中国教育学刊，2002（4）：33。

③康德.纯粹理性批判[M].蓝公武，译.北京：商务印书馆.1960： 576。

⑥ Young.J.W.A The Elements Of the DiFferentialand Integral Calculus[M]. New York：D.Appleton &.Co.，1900：97。

①②Young，J.W.A.The Teaching of Mathematics inthe Elementarv and the Secondary School[M].Ncw York：Longmans. Green &.C0.. 1907： 34， 42。

① Young，J.W.A.Elemcntary Algehra[M]. NewYork：D.Appleton &CO.，1908：3。

①②Young，J.W.A.The Teaching Of Mathematics inthe Elementarv and the Secondary School[M].Ncw York：Longmans. Green &C0.. 1907： 44， 273。

① Young，J.W.A.AI{igh School Algehra[M]. NewYork：D.Appleton &CO.，1913：6。