几个基本Hilbert型不等式的统一推广

有名辉

(浙江机电职业技术学院 数学教研室，浙江 杭州 310053)

0 引言

若f,g≥0,f,g∈L2(+), 则有如下著名的Hilbert型不等式[1]：

(1)

(2)

其中π及π2分别是满足式(1)和式(2)的最佳常数因子. 与式(1)相对应的有如下基本型的非齐次Hilbert型不等式[2]

(3)

此外，杨必成[3]还建立了式(2)类似情形，即

(4)

其中c0=0.9159+为Catalan常数.

值得指出的是，近年来通过引进参数及一些特殊函数，研究者们建立了式(1)-(4)的各种推广形式(参见[4-9]),其他一些相关的Hilbert型不等式可参考[10-15].在此，主要通过构建一个新的核函数，并建立对应的Hilbert型不等式，统一推广式(1)、(3)以及(4)中的结果，具体如下：

定理1 设λ1>0,mλ1>β>0,m∈N+,λ2≥0,

(5)

且

(6)

(7)

其中Γ(λ2)Cm(λ1,λ2,β)是满足式(7)的最佳常数因子.

1 引理

引理1 设λ1>0,mλ1>β>0,m∈N+,λ2≥0.K(x,y)和Cm(λ1,λ2,β)分别由式(5)及式(6) 定义, 则

(8)

及

(9)

证明 令xy=t，可得

(10)

而

(11)

(12)

(13)

同理

(14)

把式(13)及式(14)代入式(12),便得

(15)

(16)

结合式(11)、(15)及(16)，并利用式(6),可得

(17)

把式(17)代入到式(10),可得式(8).类似可得式(9).

引理2 设λ,a,b>0,a+b=λ,φ(x)=cotx,n∈N, 则

(18)

证明φ(x)=cotx有理分式展开形式如下(参见[16], P.397)：

(19)

式(19)关于x逐项求2n阶导数，可得

因此引理2获证.

2 定理的证明

由带权的Hölder不等式，结合引理1，可得

(20)

如果式(20)可取等号, 应有不全为零的实数A与B, 满足

以下将通过反证来说明式(7)中的常数因子最佳．事实上，如果常数因子不是最佳值，那么有实数k,满足

0

且式(7)中的常数因子改换为k后式(7)仍成立．即

(21)

(22)

用函数fε(x)和gε(y)分别取代式(21)中的f(x)和g(y)，并利用式(22), 则

(23)

在式(23)中，令ε→0+，由式(17)，可得Γ(λ2)Cm(λ1,λ2,β)k.这与假设构成矛盾.因此式(7)中的常数因子最佳．定理1证毕.

3 定理的应用

则可得以下齐次型Hilbert型不等式.

(24)

其中Γ(λ2)Cm(λ1,λ2,β)是满足式(24)的最佳常数因子.

推论1中,令λ2=2n,n∈N,根据引理2，可得

(25)

注意到

因此在式(25)中，令m=1，即有

(26)

在式(26)，再令n=0,根据引理2，可得

(27)

式(27)其实是文[4]的主要结果，它显然是式(1)的推广.

在式(25)中，令m=2，β=γ=λ1则有

(28)

故可得

(29)

式(29)显然是式(4)的推广.

另外，定理1中,令λ2=2n,n∈N,根据引理2，也可得推论2对应的非齐次情形，它是式(3)的推广.同样也可得推论3对应的非齐次情形，在此均不再赘述.