黄思思,桂绍辉
(赣南师范大学 数学与计算机科学学院,江西 赣州 341000)
为讨论问题的方便,先给出下面2个定义.
定义1[1]设A为一个非空集合,Ω={Ai|i∈I}表示集合A的某些非空子集所构成的集合,如果集合A的每一个元素在且只在其中某一个Ai中即Ai∩Aj=Ø,当i≠j时,则称集合Ω是集合的一个分划,且若|Ω|=k时,则称这种分划是分k类的分划.
关于用子列判断数列收敛问题,在文献[1]中,对文献[2]中的结论“数列{an}收敛⟺{a2k-1}和{a2k}收敛且二者极限相等”作了进一步推广,得到以下结论:
引理[1]数列{an}收敛⟺{an}的任意分数列{an}为t类的子数列均收敛,且它们的极限相等.
本文在此结论基础上进一步分析得到如下定理:
……,
即有
由引理[1]可得数列{an}收敛.
反之,利用数列与子列的关系易得.
例1若数列{a2k-1}、{a2k}和{a3k}收敛,能否保证数列{an}收敛?
证明数列{an}是收敛的.事实上,
基于此可进一步得到以下2个推论:
推论1已知数列{a2k-1}、{a2k}收敛,若数列{an}的另一子列{aq·k}收敛(其中q=2l+1,l∈N),则数列{an}收敛.
推论2已知数列{atk},{atk-1},{atk-2},…,{atk-(t-1)}收敛(其中t∈N+,且t≥3),若数列{an}的另一子数列{aq·k}(其中q=tl+1,l∈N)收敛,则数列{an}收敛.